Seja
.
(a) Encontre
tal que
.
(b) Calcule
para a curva
, onde
.
(a) Encontre
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
As perguntas são:
- (a) Encontrar uma função
tal que (ou seja, cuja gradiente é exatamente ). - (b) Calcular a integral de linha
ao longo da curva , com .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Componentes do campo:
e . - A curva
tem extremos: e .
A resolução começará a partir do passo seguinte.
Passo 2
Entender o que significa existir
com
. Isso quer dizer:
Uma verificação útil (e frequentemente usada na prova) é checar se o campo é conservativo: em regiões simples (como
) um campo
tem potencial se as derivadas mistas coincidem:
Calculemos cada uma (vou explicar cada passo):
Como
para todos
, o campo é conservativo em toda
e, portanto, existe uma função potencial
.
Breve explicação (aula rápida):
- “Conservativo” = existe
tal que . - Verificação prática: conferir igualdade das derivadas mistas quando o domínio é simplesmente conectado (como
). - Na prova, sempre faça essa verificação antes de tentar integrar directamente um por um.
Passo 3
Construir
a partir de
. Integramos em relação a
, tratando
como constante:
Como
é constante nessa integral,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Agora usamos a outra condição
para determinar
. Calcule a derivada de
em relação a
:
Comparando com
obtemos
. Logo
é constante:
.
Concluímos que uma família de potenciais é
onde
é constante real. Em geral, na prova pode escolher
para simplificar, portanto uma escolha natural é
Comentário pedagógico: No exame, faça exatamente estes passos: integre
em
, adicione função de
, derive em
e iguale a
para achar a função de
. É o jeito padrão e rápido.
Passo 4
Agora calcular a integral de linha. Teorema fundamental para integrais de linha (versão utilizada na prova):
Se e
é uma curva que vai de
a
e é pelo menos peça-wise
, então
Se
Isto é ótimo porque evita integrar componente a componente; basta avaliar o potencial nos extremos.
Aplicando ao nosso caso:
- Ponto inicial
. - Ponto final
.
Calcule
nesses pontos (usando
):
Portanto, pela formula
Comentário sobre regularidade da curva:
tem derivada com singularidade em
no primeiro componente; entretanto, a composição
é suave em
e o teorema vale para curvas que são peça-wise
. Na prática de prova, usar a função potencial é a forma mais direta e segura.
Passo 5
Verificação alternativa (útil para treino): computando a integral por parametrização direta e vendo que bate com o resultado encontrado via potencial.
Parametrizando:
. Então
O integrando é
. Em vez de desenvolver tudo, observe que
Derivando
em relação a
e usando a regra da cadeia dá exatamente
. Assim
e integrando de
a
obtemos
confirmando o resultado anterior. Isso é uma ótima dica para a prova: quando o campo é gradiente, verificar que a derivada de
coincide com o integrando fecha a conta.
Resposta
(a)
(escolhendo
,
).
(b) .
(b)