Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão envolve funções seno avaliadas em argumentos que tendem a zero quando
. - Não há outras restrições explícitas sobre
.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade fundamental dos limites envolvendo a função seno próxima de zero. A propriedade é:
Explicando passo a passo por que isso vale (uma justificativa elementar, sem séries): para
vale a desigualdade geométrica clássica
Dividindo todos os termos por
obtemos
Invertendo os termos (e lembrando que inverter preserva a desigualdade ao trocar os sinais apropriadamente) resulta em
Como
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
Essa propriedade também vale considerando
aproximando-se de
pelos dois lados (positivo e negativo), porque
e
mudam de sinal juntos.
Passo 3
Agora reescrevemos a expressão do limite de forma a usar a propriedade acima. Observe que
Essa igualdade é apenas multiplicar e dividir por
e
; os fatores se cancelam de modo a reproduzir a fração original.
Passo 4
Tomamos limite em ambos os lados quando
. Pelo produto de limites (quando todos existem),
Agora avaliamos cada limite separadamente.
- Para o primeiro termo, faça a substituição
. Quando tem , então pela propriedade do Passo 2:
- O segundo termo é direto:
- Para o terceiro termo, faça
. Quando tem , e pela propriedade do Passo 2,
Passo 5
Multiplicando os resultados:
Simplificando a fração
por
obtemos