Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(12 x)}{\operatorname{sen}(15 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(12x)}{\operatorname{sen}(15x)}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve funções seno avaliadas em argumentos que tendem a zero quando x \to 0.
  • Não há outras restrições explícitas sobre x.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental dos limites envolvendo a função seno próxima de zero. A propriedade é:
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1.
Explicando passo a passo por que isso vale (uma justificativa elementar, sem séries): para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\operatorname{sen}u < u < \operatorname{tg}u.
Dividindo todos os termos por \operatorname{sen}u>0 obtemos
1 < \frac{u}{\operatorname{sen}u} < \frac{1}{\cos u}.
Invertendo os termos (e lembrando que inverter preserva a desigualdade ao trocar os sinais apropriadamente) resulta em
\cos u < \frac{\operatorname{sen}u}{u} < 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos u = 1, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1.
Essa propriedade também vale considerando u aproximando-se de 0 pelos dois lados (positivo e negativo), porque \operatorname{sen} e u mudam de sinal juntos.

Passo 3

Agora reescrevemos a expressão do limite de forma a usar a propriedade acima. Observe que
\frac{\operatorname{sen}(12x)}{\operatorname{sen}(15x)} = \frac{\operatorname{sen}(12x)}{12x}\cdot\frac{12x}{15x}\cdot\frac{15x}{\operatorname{sen}(15x)}.
Essa igualdade é apenas multiplicar e dividir por 12x e 15x; os fatores se cancelam de modo a reproduzir a fração original.

Passo 4

Tomamos limite em ambos os lados quando x\to 0. Pelo produto de limites (quando todos existem),
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(12x)}{\operatorname{sen}(15x)} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(12x)}{12x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to 0}\frac{12x}{15x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to 0}\frac{15x}{\operatorname{sen}(15x)}\right).
Agora avaliamos cada limite separadamente.
  • Para o primeiro termo, faça a substituição u=12x. Quando x\to 0 tem u\to 0, então pela propriedade do Passo 2:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(12x)}{12x}=1.
  • O segundo termo é direto:
\lim_{x\to 0}\frac{12x}{15x}=\frac{12}{15}.
  • Para o terceiro termo, faça v=15x. Quando x\to 0 tem v\to 0, e pela propriedade do Passo 2,
\lim_{x\to 0}\frac{15x}{\operatorname{sen}(15x)}=1.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(12x)}{\operatorname{sen}(15x)} = 1\cdot\frac{12}{15}\cdot 1 = \frac{12}{15}.
Simplificando a fração \dfrac{12}{15} por 3 obtemos
\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.

Resposta

\dfrac{4}{5}

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