A função a ser analisada é f(x)=\dfrac{8+x^{3}}{4-x^{2}}.
O ponto onde o limite é pedido é x\to -2.
Objetivo: encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Tentar substituição direta para ver o tipo de indeterminação. Substituindo x=-2 em numerador e denominador:
8+(-2)^{3}=8-8=0, \qquad 4-(-2)^{2}=4-4=0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que precisamos simplificar a expressão algébrica (ou usar outro método como a regra de L’Hôpital). A técnica mais simples aqui é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns.
Explicação rápida do raciocínio: quando uma fração dá 0/0 é sinal que tanto numerador quanto denominador têm um fator comum que se anula no ponto. Se conseguirmos cancelar esse fator (válido para x\neq -2), obtemos uma expressão equivalente para x próximos de -2 mas não igual a -2, e aí podemos avaliar o limite por substituição direta.
Passo 3
Fatorar o numerador 8+x^{3}. Reconhecemos 8=2^{3}, então o numerador é uma soma de cubos do tipo a^{3}+b^{3} com a=x e b=2. Fórmula da soma de cubos:
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Aplicando com a=x e b=2:
8+x^{3}=x^{3}+2^{3}=(x+2)\bigl(x^{2}-2x+4\bigr).
Passo 4
Fatorar o denominador 4-x^{2}. Reconhecemos 4-x^{2}=2^{2}-x^{2}, que é uma diferença de quadrados do tipo A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B) com A=2 e B=x. Assim:
4-x^{2}=(2-x)(2+x).
Escrevendo de forma compatível com o fator comum que aparece no numerador:
Como estamos procurando o limite quando x\to -2, podemos cancelar o fator comum (x+2)para x\neq -2, obtendo uma expressão equivalente em um entorno de -2:
(Obs.: é essencial lembrar que o cancelamento não é válido exatamente em x=-2, mas é válido para valores próximos; isso é suficiente para o cálculo do limite.)
Passo 6
Agora avaliamos o limite da expressão simplificada por substituição direta, já que a nova expressão é contínua em x=-2:
Calcular o numerador em x=-2: