Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas:
- A expressão a ser avaliada é
. - O ponto onde o limite é pedido é
.
Passo 2
Observação e escolha do método (sem resolver ainda). Repare que os termos
se repetem; podemos reescrever a expressão de forma mais curta como
Vou usar a técnica de racionalização (multiplicar por conjugado) porque ela é uma ferramenta algébrica básica que elimina raízes quadradas no numerador e permite simplificar sem recorrer a séries ou derivadas. Explicando o princípio por trás da racionalização: para quaisquer números/expressões
e
vale a identidade
ou seja, multiplicando por
transformamos uma diferença de raízes em uma diferença de quadrados (sem raízes). Essa é a ideia que será aplicada aqui.
Passo 3
Aplicar a racionalização ao numerador. Começamos com a forma simplificada já indicada:
Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do numerador
:
Pelo produto da diferença pela soma, o numerador se torna a diferença dos quadrados:
Passo 4
Simplificar a diferença no numerador. Calculando
obtemos
. Assim a expressão fica
Agora podemos cancelar
(para
; como estamos estudando o limite para
, a cancelamento é legítimo para os valores próximos de 0 distintos de 0):
Passo 5
Aplicar o limite. Aqui uso a propriedade de continuidade das funções
: se uma função é contínua num ponto, o limite da função quando a variável tende ao ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. A função
é contínua em
. Portanto, ao fazer
temos
e
. Substituindo no denominador:
Passo 6
Comentário didático extra (opcional, para fixar a ideia): outra forma rápida de ver o limite é usar a aproximação linear da raiz para pequenos incrementos:
quando
é pequeno. Substituindo
e
obtemos numerador aproximadamente
, e dividindo por
dá
. Essa é uma verificação intuitiva da resposta obtida algebricamente.