Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+3 x}-1)-(\sqrt{1+x}-1)}{x}=1

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{1+3x}-1)-(\sqrt{1+x}-1)}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{(\sqrt{1+3x}-1)-(\sqrt{1+x}-1)}{x}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to 0.

Passo 2

Observação e escolha do método (sem resolver ainda). Repare que os termos -1 se repetem; podemos reescrever a expressão de forma mais curta como
\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{1+x}}{x}.
Vou usar a técnica de racionalização (multiplicar por conjugado) porque ela é uma ferramenta algébrica básica que elimina raízes quadradas no numerador e permite simplificar sem recorrer a séries ou derivadas. Explicando o princípio por trás da racionalização: para quaisquer números/expressões a e b vale a identidade
(a-b)(a+b)=a^2-b^2,
ou seja, multiplicando por a+b transformamos uma diferença de raízes em uma diferença de quadrados (sem raízes). Essa é a ideia que será aplicada aqui.

Passo 3

Aplicar a racionalização ao numerador. Começamos com a forma simplificada já indicada:
\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{1+x}}{x}.
Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do numerador \sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}:
\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{1+x}}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}}.
Pelo produto da diferença pela soma, o numerador se torna a diferença dos quadrados:
\frac{(1+3x)-(1+x)}{x\bigl(\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}\bigr)}.

Passo 4

Simplificar a diferença no numerador. Calculando (1+3x)-(1+x) obtemos 2x. Assim a expressão fica
\frac{2x}{x\bigl(\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}\bigr)}.
Agora podemos cancelar x (para x\neq 0; como estamos estudando o limite para x\to 0, a cancelamento é legítimo para os valores próximos de 0 distintos de 0):
\frac{2}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}}.

Passo 5

Aplicar o limite. Aqui uso a propriedade de continuidade das funções \sqrt{\cdot}: se uma função é contínua num ponto, o limite da função quando a variável tende ao ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. A função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t=1. Portanto, ao fazer x\to 0 temos \sqrt{1+3x}\to\sqrt{1}=1 e \sqrt{1+x}\to\sqrt{1}=1. Substituindo no denominador:
\lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}}=\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1.

Passo 6

Comentário didático extra (opcional, para fixar a ideia): outra forma rápida de ver o limite é usar a aproximação linear da raiz para pequenos incrementos: \sqrt{1+u}\approx 1+\dfrac{u}{2} quando u é pequeno. Substituindo u=3x e u=x obtemos numerador aproximadamente \bigl(1+\tfrac{3x}{2}\bigr)-\bigl(1+\tfrac{x}{2}\bigr)=x, e dividindo por x 1. Essa é uma verificação intuitiva da resposta obtida algebricamente.

Resposta

1

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