Sejam
(a) Determine
(b) Determine
e seu domínio
(b) Determine
Passo 1
O enunciado fornece as funções
e pede duas coisas:
- (a) determinar
(o enunciado já sugere o resultado que vamos confirmar); - (b) determinar
e o seu domínio.
Informações relevantes fornecidas:
-
é a função raiz quadrada , portanto seu domínio é o conjunto de tais que (ou seja, ). -
é uma função racional , logo seu domínio é , ou seja .
Passo 2
Calcular
passo a passo.
Definição da composição:
Substituindo
obtemos
Para simplificar, escrevemos a subtração como uma única fração com denominador
:
Agora desenvolvendo o numerador:
Portanto a expressão dentro da raiz fica
e concluímos
Isto confirma a expressão sugerida no enunciado.
Passo 3
Determinar o domínio de
(explicando por que é necessário).
Regra geral: o domínio de
é o conjunto de
tais que
pertence ao domínio de
e
pertence ao domínio de
. Em símbolos:
Primeiro,
deve estar no domínio de
, ou seja:
Segundo,
deve satisfazer
. Vamos resolver essa desigualdade:
Colocar tudo em um único lado:
Calcular o numerador:
Multiplicando por
(vira sentido invertido, mas é só reorganizar), fica a condição equivalente
Note que o numerador
é exatamente o numerador que apareceu dentro da raiz na expressão de
: isto mostra coerência entre a condição de domínio e a necessidade de o radicando ser não negativo.
Agora resolvemos a desigualdade racional por análise de sinais. Os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador:
- as raízes do numerador
são
Denotando
- as raízes do denominador
são .
Fazendo o quadro de sinais (testando intervalos) e lembrando que não podemos tomar
, obtemos que a fração
é não negativa nos intervalos
Portanto o domínio de
é
lembrando que os pontos
estão excluídos (já excluídos nos intervalos acima).
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Definição:
Substituindo
obtemos
Observação: a forma dada no enunciado
é idêntica, pois
.
Opcionalmente pode-se racionalizar o numerador para escrever de outra forma:
Nenhuma dessas formas cancela fatores que possam criar novos pontos proibidos além dos que já veremos no domínio.
Passo 5
Determinar o domínio de
(explicando por que).
Regra:
Primeiro,
deve pertencer ao domínio de
, isto é:
Segundo,
deve estar no domínio de
, isto é
. Calculando:
Portanto é necessário
.
Juntando as condições:
Logo o domínio de
é