Sejam
f(x)=\sqrt{5-x}, \quad g(x)=\frac{x-2}{x^{2}-1}
(a) Determine (f \circ g)(x)=\sqrt{\frac{5 x^{2}-x-3}{x^{2}-1}}
(b) Determine (g \circ f)(x) e seu domínio
=\frac{\sqrt{5-x}-2}{-x+4}

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)=\sqrt{5-x},\qquad g(x)=\frac{x-2}{x^{2}-1},
e pede duas coisas:
  • (a) determinar (f\circ g)(x) (o enunciado já sugere o resultado que vamos confirmar);
  • (b) determinar (g\circ f)(x) e o seu domínio.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é a função raiz quadrada \,f(t)=\sqrt{5-t}\,, portanto seu domínio é o conjunto de t tais que 5-t\ge 0 (ou seja, t\le 5).
  • g é uma função racional \,g(x)=\dfrac{x-2}{x^{2}-1}\,, logo seu domínio é \{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-1\ne 0\}, ou seja x\ne \pm 1.

Passo 2

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) passo a passo.
Definição da composição:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\sqrt{\,5-g(x)\,}.
Substituindo g(x)=\dfrac{x-2}{x^{2}-1} obtemos
(f\circ g)(x)=\sqrt{\,5-\dfrac{x-2}{x^{2}-1}\,}.
Para simplificar, escrevemos a subtração como uma única fração com denominador x^{2}-1:
5-\dfrac{x-2}{x^{2}-1}=\dfrac{5(x^{2}-1)-(x-2)}{x^{2}-1}.
Agora desenvolvendo o numerador:
5(x^{2}-1)-(x-2)=5x^{2}-5-x+2=5x^{2}-x-3.
Portanto a expressão dentro da raiz fica
\frac{5x^{2}-x-3}{x^{2}-1},
e concluímos
(f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{5x^{2}-x-3}{x^{2}-1}}.
Isto confirma a expressão sugerida no enunciado.

Passo 3

Determinar o domínio de (f\circ g) (explicando por que é necessário).
Regra geral: o domínio de f\circ g é o conjunto de x tais que x pertence ao domínio de g e g(x) pertence ao domínio de f. Em símbolos:
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\mid x\in\operatorname{Dom}(g)\\ \text{e}\\ g(x)\le 5\}.
Primeiro, x deve estar no domínio de g, ou seja:
x^{2}-1\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne \pm 1.
Segundo, g(x) deve satisfazer g(x)\le 5. Vamos resolver essa desigualdade:
\frac{x-2}{x^{2}-1}\le 5.
Colocar tudo em um único lado:
\frac{x-2}{x^{2}-1}-5\le 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x-2-5(x^{2}-1)}{x^{2}-1}\le 0.
Calcular o numerador:
x-2-5(x^{2}-1)=-5x^{2}+x+3.
Multiplicando por -1 (vira sentido invertido, mas é só reorganizar), fica a condição equivalente
\frac{5x^{2}-x-3}{x^{2}-1}\ge 0.
Note que o numerador 5x^{2}-x-3 é exatamente o numerador que apareceu dentro da raiz na expressão de (f\circ g)(x): isto mostra coerência entre a condição de domínio e a necessidade de o radicando ser não negativo.
Agora resolvemos a desigualdade racional por análise de sinais. Os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador:
  • as raízes do numerador 5x^{2}-x-3=0 são
x=\frac{1\pm\sqrt{61}}{10}.
Denotando
r_{1}=\frac{1-\sqrt{61}}{10}\approx -0,6810,\qquad r_{2}=\frac{1+\sqrt{61}}{10}\approx 0,8810.
  • as raízes do denominador x^{2}-1 são x=\pm 1.
Fazendo o quadro de sinais (testando intervalos) e lembrando que não podemos tomar x=\pm 1, obtemos que a fração \dfrac{5x^{2}-x-3}{x^{2}-1} é não negativa nos intervalos
(-\infty,-1)\\ \cup\\ [r_{1},r_{2}]\\ \cup\\ (1,\infty).
Portanto o domínio de (f\circ g) é
\operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1)\\ \cup\\ \left[\frac{1-\sqrt{61}}{10},\\ \frac{1+\sqrt{61}}{10}\right]\\ \cup\\ (1,\infty),
lembrando que os pontos x=\pm 1 estão excluídos (já excluídos nos intervalos acima).

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)) passo a passo.
Definição:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\frac{f(x)-2}{\big(f(x)\big)^{2}-1}.
Substituindo f(x)=\sqrt{5-x} obtemos
(g\circ f)(x)=\frac{\sqrt{5-x}-2}{\big(\sqrt{5-x}\,\big)^{2}-1} =\frac{\sqrt{5-x}-2}{\,5-x-1\,} =\frac{\sqrt{5-x}-2}{\,4-x\,}.
Observação: a forma dada no enunciado \dfrac{\sqrt{5-x}-2}{-x+4} é idêntica, pois -x+4=4-x.
Opcionalmente pode-se racionalizar o numerador para escrever de outra forma:
\frac{\sqrt{5-x}-2}{4-x} =\frac{\sqrt{5-x}-2}{4-x}\cdot\frac{\sqrt{5-x}+2}{\sqrt{5-x}+2} =\frac{1-x}{(4-x)\big(\sqrt{5-x}+2\big)} =\frac{x-1}{(x-4)\big(\sqrt{5-x}+2\big)}.
Nenhuma dessas formas cancela fatores que possam criar novos pontos proibidos além dos que já veremos no domínio.

Passo 5

Determinar o domínio de (g\circ f) (explicando por que).
Regra: \operatorname{Dom}(g\circ f)=\{x\mid x\in\operatorname{Dom}(f)\\ \text{e}\\ f(x)\in\operatorname{Dom}(g)\}.
Primeiro, x deve pertencer ao domínio de f, isto é:
5-x\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\le 5.
Segundo, f(x) deve estar no domínio de g, isto é \big(f(x)\big)^{2}-1\ne 0. Calculando:
\big(f(x)\big)^{2}-1=(\sqrt{5-x})^{2}-1=5-x-1=4-x\ne 0.
Portanto é necessário x\ne 4.
Juntando as condições:
x\le 5\quad\text{e}\quad x\ne 4.
Logo o domínio de (g\circ f) é
\operatorname{Dom}(g\circ f)=(-\infty,4)\cup(4,5].

Resposta

(f\circ g)(x)=\sqrt{\dfrac{5x^{2}-x-3}{x^{2}-1}}, \quad \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1)\cup\left[\dfrac{1-\sqrt{61}}{10},\dfrac{1+\sqrt{61}}{10}\right]\cup(1,\infty)
(g\circ f)(x)=\dfrac{\sqrt{5-x}-2}{4-x}, \quad \operatorname{Dom}(g\circ f)=(-\infty,4)\cup(4,5]

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