Questão 3. Seja E o sólido que está entre os cilindros circulares x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9, abaixo do cone z^{2}=9 x^{2}+9 y^{2} e asima do plano z=0.
(a) Faça um esboço de E.
(b) Calcule a massa de E, se a função densidade é \rho(x, y, z)=z.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • O sólido E está entre os cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9.
    • O sólido está abaixo do cone z^{2}=9x^{2}+9y^{2}.
    • O sólido está acima do plano z=0.
    • A densidade é \rho(x,y,z)=z.
  • O enunciado pede:
    • (a) um esboço (uma descrição do formato) de E;
    • (b) calcular a massa de E com a densidade \rho(x,y,z)=z.

Passo 2

Interpretando geometricamente os dados (isso ajuda a fazer o esboço pedido em (a)).
  • As equações dos cilindros dizem que, no plano xy, o sólido ocupa os pontos com 1 \le x^{2}+y^{2}\le 9. Em coordenadas polares isso é 1\le r^{2}\le 9, logo 1\le r\le 3. Ou seja: projeção no plano xy é uma coroa circular (anel) com raio interno r=1 e raio externo r=3.
  • A equação do cone é z^{2}=9(x^{2}+y^{2}). Em coordenadas polares isso fica z^{2}=9r^{2}, portanto z=\pm 3r. O enunciado diz que o sólido está abaixo do cone e acima de z=0. Para a parte superior do cone temos z=3r; “abaixo do cone” e "acima de z=0" implica 0 \le z \le 3r.
  • Conclusão geométrica: para cada ponto no anel 1\le r\le 3, o sólido vai verticalmente de z=0 até a superfície inclinada z=3r. A superfície superior é a porção do cone z=3r sobre o anel, e a base é o anel no plano z=0.
(Isto já serve como esboço: imagine um anel no chão e, sobre cada círculo de raio r desse anel, ergue-se uma “coluna” cuja altura é 3r; a altura cresce com r, formando uma superfície superior cônica.)

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas e fórmulas que vamos usar.
  • Por simetria circular e porque as equações envolvem x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas cilíndricas (polares no plano xy mais z). As transformações são: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.
  • Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: ao mudar de (x,y,z) para (r,\theta,z) o jacobiano é r, portanto dV = r\,dr\,d\theta\,dz.Explicando rapidinho: o fator r aparece porque uma pequena área em coordenadas polares vale aproximadamente r\,dr\,d\theta.
  • A densidade dada é \rho(x,y,z)=z. Em cilíndricas permanece \rho=z.

Passo 4

Montar a integral tripla para a massa.
  • A massa é \text{massa}=\iiint_{E}\rho(x,y,z)\,dV.
  • Em coordenadas cilíndricas, com os limites que identificamos:
    • \theta percorre toda a volta: 0\le\theta\le 2\pi.
    • r vai do cilindro interno ao externo: 1\le r\le 3.
    • z vai da base z=0 até o cone z=3r: 0\le z\le 3r.
  • Substituindo \rho=z e dV=r\,dz\,dr\,d\theta, obtemos a integral \text{massa}=\int_{0}^{2\pi}\int_{r=1}^{3}\int_{z=0}^{3r} z\; r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em z.
  • Calcule \int_{0}^{3r} z\; r \,dz = r\int_{0}^{3r} z\,dz = r\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{0}^{3r} = r\cdot \tfrac{1}{2}(3r)^{2}.
  • Simplificando: r\cdot \tfrac{1}{2}(3r)^{2} = r\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 9 r^{2} = \tfrac{9}{2} r^{3}.

Passo 6

Integrar em r.
  • Agora integramos o resultado em r de 1 a 3: \int_{1}^{3} \tfrac{9}{2} r^{3}\,dr = \tfrac{9}{2}\left[\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{1}^{3} = \tfrac{9}{8}\left(3^{4}-1^{4}\right).
  • Calcule 3^{4}=81, então \tfrac{9}{8}(81-1)=\tfrac{9}{8}\cdot 80 = 9\cdot 10 = 90.

Passo 7

Integrar em \theta e concluir.
  • A integral em \theta é simples: \int_{0}^{2\pi} 90\,d\theta = 90\cdot (2\pi) = 180\pi.
  • Portanto a massa do sólido é 180\pi.

Passo 8

Comentário final sobre o esboço (parte (a)) — como desenhar rapidamente no caderno.
  • Desenho em três passos rápidos:
    1. No plano xy desenhar duas circunferências coaxiais centradas na origem, de raios 1 e 3 — isso mostra a projeção no plano z=0.
    2. Desenhar o plano z=0 como a base horizontal; sobre cada círculo de raio r desenhar uma altura proporcional a r (altura 3r). A superfície superior é uma porção do cone z=3r que cresce com r.
    3. O sólido é a “coroa” verticalmente preenchida entre z=0 e a superfície cônica: parece uma franja (anel) cuja altura aumenta radialmente, formando uma banda cônica com um furo interno (raio 1) e borda externa (raio 3).
Força aí — já está resolvido, com o integral e o esboço mental para desenhar.

Resposta

(a) Região: anel no plano xy com 1\le r\le 3 e, para cada r, 0\le z\le 3r. Ou seja, uma coroa circular no plano z=0 preenchida verticalmente até a superfície z=3r (porção do cone), formando uma banda cônica com furo interno.
(b) \;180\pi

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