Questão 3. Seja
o sólido que está entre os cilindros circulares
e
, abaixo do cone
e asima do plano
.
(a) Faça um esboço de
.
(b) Calcule a massa de
, se a função densidade é
.
(a) Faça um esboço de
(b) Calcule a massa de
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- O sólido
está entre os cilindros e . - O sólido está abaixo do cone
. - O sólido está acima do plano
. - A densidade é
.
- O sólido
-
O enunciado pede:
- (a) um esboço (uma descrição do formato) de
; - (b) calcular a massa de
com a densidade .
- (a) um esboço (uma descrição do formato) de
Passo 2
Interpretando geometricamente os dados (isso ajuda a fazer o esboço pedido em (a)).
- As equações dos cilindros dizem que, no plano
, o sólido ocupa os pontos com . Em coordenadas polares isso é , logo . Ou seja: projeção no plano é uma coroa circular (anel) com raio interno e raio externo . - A equação do cone é
. Em coordenadas polares isso fica , portanto . O enunciado diz que o sólido está abaixo do cone e acima de . Para a parte superior do cone temos ; “abaixo do cone” e "acima de " implica - Conclusão geométrica: para cada ponto no anel
, o sólido vai verticalmente de até a superfície inclinada . A superfície superior é a porção do cone sobre o anel, e a base é o anel no plano .
(Isto já serve como esboço: imagine um anel no chão e, sobre cada círculo de raio
desse anel, ergue-se uma “coluna” cuja altura é
; a altura cresce com
, formando uma superfície superior cônica.)
Passo 3
Escolha de sistema de coordenadas e fórmulas que vamos usar.
- Por simetria circular e porque as equações envolvem
, é natural usar coordenadas cilíndricas (polares no plano mais ). As transformações são: - Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: ao mudar de
para o jacobiano é , portanto Explicando rapidinho: o fator aparece porque uma pequena área em coordenadas polares vale aproximadamente . - A densidade dada é
. Em cilíndricas permanece .
Passo 4
Montar a integral tripla para a massa.
- A massa é
- Em coordenadas cilíndricas, com os limites que identificamos:
-
percorre toda a volta: . -
vai do cilindro interno ao externo: . -
vai da base até o cone : .
-
- Substituindo
e , obtemos a integral
Passo 5
Calcular a integral interna em
.
- Calcule
- Simplificando:
Passo 6
Integrar em
.
- Agora integramos o resultado em
de a : - Calcule
, então
Passo 7
Integrar em
e concluir.
- A integral em
é simples: - Portanto a massa do sólido é
.
Passo 8
Comentário final sobre o esboço (parte (a)) — como desenhar rapidamente no caderno.
- Desenho em três passos rápidos:
- No plano
desenhar duas circunferências coaxiais centradas na origem, de raios e — isso mostra a projeção no plano . - Desenhar o plano
como a base horizontal; sobre cada círculo de raio desenhar uma altura proporcional a (altura ). A superfície superior é uma porção do cone que cresce com . - O sólido é a “coroa” verticalmente preenchida entre
e a superfície cônica: parece uma franja (anel) cuja altura aumenta radialmente, formando uma banda cônica com um furo interno (raio ) e borda externa (raio ).
- No plano
Força aí — já está resolvido, com o integral e o esboço mental para desenhar.
Resposta
(a) Região: anel no plano
com
e, para cada
,
. Ou seja, uma coroa circular no plano
preenchida verticalmente até a superfície
(porção do cone), formando uma banda cônica com furo interno.
(b)
(b)