Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x+4}-3}{\sqrt[3]{x-2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{5x+4}-3}{\sqrt[3]{x-2}+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A função do numerador é \sqrt{5x+4}-3.
  • A função do denominador é \sqrt[3]{x-2}+1.
  • Se fazemos a substituição direta x=1 obtemos no numerador \sqrt{5\cdot1+4}-3=\sqrt{9}-3=0 e no denominador \sqrt[3]{1-2}+1=\sqrt[3]{-1}+1=-1+1=0. Portanto temos uma forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Escolha do método (e por quê).
  • Uma maneira simples e direta para limites do tipo \dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} quando f e g são diferenciáveis em a (e g'(a)\neq0) é usar a aproximação linear (primeira ordem/Taylor) das funções perto de a. Nessa situação vale a relação
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.
  • Justificativa curta dessa relação: dividir numerador e denominador por x-a e usar os limites das diferenças quociente:
\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}\xrightarrow[x\to a]{}\frac{f'(a)}{g'(a)},
desde que g'(a)\neq0.
Por isso vou aplicar essa ideia aqui: identificar f(x)=\sqrt{5x+4} e g(x)=\sqrt[3]{x-2} (repare que cada um foi escrito sem o termo constante que cancela) e calcular f'(1) e g'(1).

Passo 3

Definir as funções e calcular as derivadas (passo a passo, sem pular etapas).
  • Defino
f(x)=\sqrt{5x+4}=(5x+4)^{1/2}.
Usando a regra da cadeia e a regra da potência: se h(x)=(u(x))^{\alpha} então h'(x)=\alpha\,u(x)^{\alpha-1}\,u'(x). Aqui u(x)=5x+4, u'(x)=5 e \alpha=\tfrac12. Portanto
f'(x)=\tfrac12(5x+4)^{-1/2}\cdot 5=\frac{5}{2}\,(5x+4)^{-1/2}.
  • Defino
g(x)=\sqrt[3]{x-2}=(x-2)^{1/3}.
Aplicando a regra da potência (mesma ideia): com u(x)=x-2, u'(x)=1 e \alpha=\tfrac13, obtemos
g'(x)=\tfrac13 (x-2)^{-2/3}.

Passo 4

Avaliar as derivadas em x=1 (contando as contas).
  • Para f'(1):
f'(1)=\frac{5}{2}\,(5\cdot1+4)^{-1/2}=\frac{5}{2}\cdot 9^{-1/2}.
Como 9^{1/2}=3, então 9^{-1/2}=\tfrac{1}{3}. Logo
f'(1)=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{6}.
  • Para g'(1):
g'(1)=\tfrac13(1-2)^{-2/3}=\tfrac13(-1)^{-2/3}.
Agora calcular (-1)^{-2/3}. Observe que (-1)^{1/3}=-1 (a raiz cúbica real de -1 é -1); elevando ao quadrado dá (-1)^{2/3}=(-1)^{1/3\cdot 2}=(-1)^2=1. Assim (-1)^{-2/3}=1. Portanto
g'(1)=\tfrac13\cdot 1=\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Aplicar a relação entre limites e derivadas e concluir.
  • Como argumentado no Passo 2, para f e g diferenciáveis em 1 e g'(1)\neq0 vale
\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{g(x)-g(1)}=\frac{f'(1)}{g'(1)}.
No nosso caso f(1)=\sqrt{5\cdot1+4}=3 e g(1)=\sqrt[3]{1-2}=-1, então o limite pedido é exatamente dessa forma. Substituindo os valores das derivadas:
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{5x+4}-3}{\sqrt[3]{x-2}+1}=\frac{f'(1)}{g'(1)}=\frac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{3}}.
Fazendo a divisão de frações:
\frac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{1}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}.

Resposta

\dfrac{5}{2}

Exercícios relacionados