Se fazemos a substituição direta x=1 obtemos no numerador \sqrt{5\cdot1+4}-3=\sqrt{9}-3=0 e no denominador \sqrt[3]{1-2}+1=\sqrt[3]{-1}+1=-1+1=0. Portanto temos uma forma indeterminada 0/0.
Passo 2
Escolha do método (e por quê).
Uma maneira simples e direta para limites do tipo \dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} quando f e g são diferenciáveis em a (e g'(a)\neq0) é usar a aproximação linear (primeira ordem/Taylor) das funções perto de a. Nessa situação vale a relação
desde que g'(a)\neq0.
Por isso vou aplicar essa ideia aqui: identificar f(x)=\sqrt{5x+4} e g(x)=\sqrt[3]{x-2} (repare que cada um foi escrito sem o termo constante que cancela) e calcular f'(1) e g'(1).
Passo 3
Definir as funções e calcular as derivadas (passo a passo, sem pular etapas).
Defino
f(x)=\sqrt{5x+4}=(5x+4)^{1/2}.
Usando a regra da cadeia e a regra da potência: se h(x)=(u(x))^{\alpha} então h'(x)=\alpha\,u(x)^{\alpha-1}\,u'(x). Aqui u(x)=5x+4, u'(x)=5 e \alpha=\tfrac12. Portanto
Agora calcular (-1)^{-2/3}. Observe que (-1)^{1/3}=-1 (a raiz cúbica real de -1 é -1); elevando ao quadrado dá (-1)^{2/3}=(-1)^{1/3\cdot 2}=(-1)^2=1. Assim (-1)^{-2/3}=1. Portanto
g'(1)=\tfrac13\cdot 1=\tfrac{1}{3}.
Passo 5
Aplicar a relação entre limites e derivadas e concluir.
Como argumentado no Passo 2, para f e g diferenciáveis em 1 e g'(1)\neq0 vale