Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a considerar é
. - O ponto de interesse é
.
O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite quandose aproxima de .
Passo 2
Teste de substituição direta: vamos substituir
na expressão para ver se obtemos um valor determinado.
Calcule o numerador em :
Calcule o numerador em
Calcule o denominador em
:
Como obtemos
, isso é uma forma indeterminada. Ou seja, não dá para concluir o valor do limite por substituição direta; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Estratégia: usar a técnica do conjugado para eliminar a raiz do numerador. A ideia é multiplicar numerador e denominador por
(o conjugado de
). Isso usa a identidade de diferença de quadrados:
Aqui
e
. Multiplicando por esse conjugado não altera a expressão (multiplica por
) mas facilita simplificação.
Passo 4
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Aplicando a identidade
no numerador:
Simplificando
:
Passo 5
Agora há um fator comum
no numerador e no denominador. Como estamos calculando um limite quando
se aproxima de
(ou seja, consideramos valores
próximos de
), podemos cancelar esse fator:
Após o cancelamento, obtemos uma função mais simples que é contínua no entorno de
, então podemos avaliar o limite por substituição.
Passo 6
Avaliação do limite da expressão simplificada:
Passo 7
Observação adicional (opcional): outro método possível é a Regra de L’Hôpital, já que tínhamos forma
. Derivando numerador e denominador:
- derivada do numerador
é , - derivada do denominador
é .
Aplicando L’Hôpital:
que coincide com o resultado obtido acima. Preferi o método do conjugado porque é puramente algébrico e costuma ser mais elementar em provas sem cálculo.