Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}.
Informações dadas:
  • A expressão a considerar é \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}.
  • O ponto de interesse é x=3.
    O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Teste de substituição direta: vamos substituir x=3 na expressão para ver se obtemos um valor determinado.
Calcule o numerador em x=3:
\sqrt{3+1}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0.
Calcule o denominador em x=3:
3-3=0.
Como obtemos 0/0, isso é uma forma indeterminada. Ou seja, não dá para concluir o valor do limite por substituição direta; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Estratégia: usar a técnica do conjugado para eliminar a raiz do numerador. A ideia é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{x+1}+2 (o conjugado de \sqrt{x+1}-2). Isso usa a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Aqui a=\sqrt{x+1} e b=2. Multiplicando por esse conjugado não altera a expressão (multiplica por 1) mas facilita simplificação.

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} = \frac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)}.
Aplicando a identidade (\sqrt{x+1})^2-2^2 no numerador:
\frac{(\sqrt{x+1})^2-2^2}{(x-3)\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)} = \frac{x+1-4}{(x-3)\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)}.
Simplificando x+1-4:
\frac{x-3}{(x-3)\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)}.

Passo 5

Agora há um fator comum (x-3) no numerador e no denominador. Como estamos calculando um limite quando x se aproxima de 3 (ou seja, consideramos valores x\neq3 próximos de 3), podemos cancelar esse fator:
\frac{x-3}{(x-3)\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2},\quad \text{para }x\neq3.
Após o cancelamento, obtemos uma função mais simples que é contínua no entorno de x=3, então podemos avaliar o limite por substituição.

Passo 6

Avaliação do limite da expressão simplificada:
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{\sqrt{3+1}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Observação adicional (opcional): outro método possível é a Regra de L’Hôpital, já que tínhamos forma 0/0. Derivando numerador e denominador:
  • derivada do numerador \sqrt{x+1}-2 é \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}},
  • derivada do denominador x-3 é 1.
    Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{1}=\frac{1}{2\sqrt{3+1}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4},
que coincide com o resultado obtido acima. Preferi o método do conjugado porque é puramente algébrico e costuma ser mais elementar em provas sem cálculo.

Resposta

\frac{1}{4}

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