Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma fração de polinômios (função racional).
- O ponto de interesse para o limite é
. - É preciso determinar o valor numérico do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente (isso às vezes já resolve limites de funções racionais). Calcular numerador e denominador em
.
Numerador:
Denominador:
Como obtemos a forma indeterminada
, não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta. Isso indica que há (provavelmente) um fator comum que pode ser cancelado; vamos manipular algebricamente.
Passo 3
Explicação rápida sobre fatoração: para quadráticos do tipo
procura-se escrever como produto de dois binômios. Para
(caso do numerador) busca-se dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Para
(caso do denominador) podemos tentar a fatoração por agrupamento ou procurar binômios
com
e
, verificando o termo do meio.
Fatorando o numerador
. Procuramos dois números que somem
e multipliquem
. Esses números são
e
. Logo:
Verificação pela multiplicação:
.
Agora fatorar o denominador
. Tentamos a forma
. Precisa valer:
Queremos
e
. Tomando
e
temos
e
. Portanto:
Verificação:
.
Passo 4
Agora reescrevemos a função inicial usando as fatorações obtidas:
Observa-se o fator comum
no numerador e denominador. Como estamos calculando um limite quando
se aproxima de
(e não avaliando exatamente em
), podemos cancelar
para
. Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada:
Explicação didática: cancelar um fator que anula ambos os polinômios cria uma descontinuidade removível em
. O limite ao redor de
é o valor da função simplificada naquele ponto.
Passo 5
Agora que a expressão foi simplificada, podemos avaliar o limite por substituição direta (já que o denominador da expressão simplificada em
não é zero). Substituindo
em
:
Mostrei cada passo da aritmética: numerador
, denominador
, divisão dá
.
Passo 6
Conclusão e comentário final: o limite existe e é igual ao valor da função simplificada em
. Esse procedimento (fatorar e cancelar) é a técnica padrão para limites de funções racionais que geram indeterminação
. Alternativamente poderia-se usar o Teorema de l’Hôpital (derivar numerador e denominador e reavaliar), mas aqui a fatoração é direta, mais rápida e sem necessidade de derivadas.