Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-10} \frac{x^{2}+7 x-30}{2 x^{2}+21 x+10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to-10}\frac{x^{2}+7x-30}{2x^{2}+21x+10}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma fração de polinômios (função racional).
  • O ponto de interesse para o limite é x=-10.
  • É preciso determinar o valor numérico do limite quando x se aproxima de -10.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=-10 diretamente (isso às vezes já resolve limites de funções racionais). Calcular numerador e denominador em x=-10.
Numerador:
(-10)^{2}+7(-10)-30 = 100 -70 -30 = 0.
Denominador:
2(-10)^{2}+21(-10)+10 = 2\cdot100 -210 +10 = 200 -200 = 0.
Como obtemos a forma indeterminada 0/0, não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta. Isso indica que há (provavelmente) um fator comum que pode ser cancelado; vamos manipular algebricamente.

Passo 3

Explicação rápida sobre fatoração: para quadráticos do tipo \,ax^{2}+bx+c\, procura-se escrever como produto de dois binômios. Para a=1 (caso do numerador) busca-se dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Para a\neq1 (caso do denominador) podemos tentar a fatoração por agrupamento ou procurar binômios (mx + p)(nx + q) com mn=a e pq=c, verificando o termo do meio.
Fatorando o numerador x^{2}+7x-30. Procuramos dois números que somem 7 e multipliquem -30. Esses números são 10 e -3. Logo:
x^{2}+7x-30=(x+10)(x-3).
Verificação pela multiplicação: (x+10)(x-3)=x^{2}-3x+10x-30=x^{2}+7x-30.
Agora fatorar o denominador 2x^{2}+21x+10. Tentamos a forma (2x + A)(x + B). Precisa valer:
(2x + A)(x + B)=2x^{2}+(2B + A)x + AB.
Queremos AB=10 e 2B + A =21. Tomando A=1 e B=10 temos AB=1\cdot10=10 e 2B + A =2\cdot10 +1 =21. Portanto:
2x^{2}+21x+10=(2x+1)(x+10).
Verificação: (2x+1)(x+10)=2x^{2}+20x+x+10=2x^{2}+21x+10.

Passo 4

Agora reescrevemos a função inicial usando as fatorações obtidas:
\frac{x^{2}+7x-30}{2x^{2}+21x+10}=\frac{(x+10)(x-3)}{(2x+1)(x+10)}.
Observa-se o fator comum (x+10) no numerador e denominador. Como estamos calculando um limite quando x se aproxima de -10 (e não avaliando exatamente em x=-10), podemos cancelar (x+10) para x\neq -10. Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada:
\frac{x-3}{2x+1},\qquad x\neq-10.
Explicação didática: cancelar um fator que anula ambos os polinômios cria uma descontinuidade removível em x=-10. O limite ao redor de x=-10 é o valor da função simplificada naquele ponto.

Passo 5

Agora que a expressão foi simplificada, podemos avaliar o limite por substituição direta (já que o denominador da expressão simplificada em x=-10 não é zero). Substituindo x=-10 em \dfrac{x-3}{2x+1}:
\frac{-10-3}{2(-10)+1}=\frac{-13}{-20+1}=\frac{-13}{-19}=\frac{13}{19}.
Mostrei cada passo da aritmética: numerador -10-3=-13, denominador 2(-10)+1=-20+1=-19, divisão dá (-13)/(-19)=13/19.

Passo 6

Conclusão e comentário final: o limite existe e é igual ao valor da função simplificada em x=-10. Esse procedimento (fatorar e cancelar) é a técnica padrão para limites de funções racionais que geram indeterminação 0/0. Alternativamente poderia-se usar o Teorema de l’Hôpital (derivar numerador e denominador e reavaliar), mas aqui a fatoração é direta, mais rápida e sem necessidade de derivadas.

Resposta

\dfrac{13}{19}

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