Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x) \operatorname{sen}(5 x)}{\left(x-x^{2}\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)\,\sin(5x)}{(x - x^2)^2}.
O conteúdo é cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas e polinômios; vamos usar o fato de que \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos o denominador de modo a separar a parte problemática em x:
(x - x^2)^2 = x^2\,(1 - x)^2.
Assim a expressão fica
\frac{\sin(3x)\,\sin(5x)}{(x - x^2)^2} = \frac{\sin(3x)\,\sin(5x)}{x^2\,(1 - x)^2}.

Passo 3

Para explorar o limite clássico, dividimos e multiplicamos por x em cada seno:
\frac{\sin(3x)\,\sin(5x)}{x^2\,(1 - x)^2} = \frac{\sin(3x)}{x}\;\frac{\sin(5x)}{x}\;\frac{1}{(1 - x)^2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite de cada fator separadamente:
  • \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to0}3\,\frac{\sin(3x)}{3x}=3.
  • \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x} = \lim_{x\to0}5\,\frac{\sin(5x)}{5x}=5.
  • \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{(1 - x)^2}=\frac{1}{1^2}=1.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
3 \times 5 \times 1 = 15.

Resposta

15

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