Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[4]{16 x^{8}-7 x^{6}+3}}{-2 x^{2}+10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{16x^{8}-7x^{6}+3}}{-2x^{2}+10}.
Informações dadas:
\text{numerador}=\sqrt[4]{16x^{8}-7x^{6}+3},\qquad \text{denominador}=-2x^{2}+10.
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite acima quando x cresce sem limite para +\infty.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para limites quando x\to+\infty de expressões polinomiais com raízes, a técnica padrão é “fatorar” a maior potência de x que aparece dentro da raiz e usar propriedades de limites e continuidade. Vou usar a propriedade da raiz enésima:
\sqrt[4]{a\cdot b}=\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{b},
e também o fato de que, para x\ge0,
\sqrt[4]{x^{8}}=x^{2},
porque (x^{2})^{4}=x^{8}. Como estamos com x\to+\infty, temos x>0 para x suficientemente grande, então essa igualdade é válida sem ambiguidades de sinal.

Passo 3

Aplicando a fatoração dentro da raiz: extraímos x^{8} do radicando:
\sqrt[4]{16x^{8}-7x^{6}+3}=\sqrt[4]{x^{8}\Big(16-\frac{7}{x^{2}}+\frac{3}{x^{8}}\Big)}.
Usando a propriedade da raiz:
\sqrt[4]{x^{8}\Big(16-\frac{7}{x^{2}}+\frac{3}{x^{8}}\Big)}=\sqrt[4]{x^{8}}\;\sqrt[4]{16-\frac{7}{x^{2}}+\frac{3}{x^{8}}}.
Como x>0 quando x\to+\infty, temos \sqrt[4]{x^{8}}=x^{2}. Logo
\sqrt[4]{16x^{8}-7x^{6}+3}=x^{2}\sqrt[4]{16-\frac{7}{x^{2}}+\frac{3}{x^{8}}}.

Passo 4

Substituímos essa expressão no quociente e simplificamos dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\frac{\sqrt[4]{16x^{8}-7x^{6}+3}}{-2x^{2}+10} =\frac{x^{2}\sqrt[4]{16-\frac{7}{x^{2}}+\frac{3}{x^{8}}}}{-2x^{2}+10}.
Dividindo cima e baixo por x^{2} (válido porque x^{2}\neq0 para x grande):
\frac{x^{2}\sqrt[4]{16-\frac{7}{x^{2}}+\frac{3}{x^{8}}}}{-2x^{2}+10} =\frac{\sqrt[4]{16-\frac{7}{x^{2}}+\frac{3}{x^{8}}}}{-2+\frac{10}{x^{2}}}.

Passo 5

Agora analisamos os limites das partes que restaram quando x\to+\infty. Note que \frac{7}{x^{2}}\to0, \frac{3}{x^{8}}\to0 e \frac{10}{x^{2}}\to0. Assim o argumento da raiz tende a 16 e o denominador tende a -2. Usamos a continuidade da função \sqrt[4]{\cdot} (função contínua para argumentos positivos) para trocar limite e função:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt[4]{16-\frac{7}{x^{2}}+\frac{3}{x^{8}}}=\sqrt[4]{16}=2.
E
\lim_{x\to+\infty}\Big(-2+\frac{10}{x^{2}}\Big)=-2.

Passo 6

Com tudo isso, o limite do quociente é o quociente dos limites (o denominador do limite não é zero, pois tende a -2):
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{16x^{8}-7x^{6}+3}}{-2x^{2}+10} =\frac{2}{-2}=-1.
Intuição rápida: numerador cresce como 2x^{2} e denominador como -2x^{2}, então a razão tende a -1.

Passo 7

Dica prática para provas: sempre identifique a maior potência de x que domina a expressão (aqui foi x^{8} dentro da raiz, que corresponde a x^{2} depois de tirar a quarta raiz). Factorizar e simplificar é quase sempre o caminho mais direto para limites no infinito envolvendo raízes e polinômios.

Resposta

-1

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