Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite acima quando
cresce sem limite para
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para limites quando
de expressões polinomiais com raízes, a técnica padrão é “fatorar” a maior potência de
que aparece dentro da raiz e usar propriedades de limites e continuidade. Vou usar a propriedade da raiz enésima:
e também o fato de que, para
,
porque
. Como estamos com
, temos
para
suficientemente grande, então essa igualdade é válida sem ambiguidades de sinal.
Passo 3
Aplicando a fatoração dentro da raiz: extraímos
do radicando:
Usando a propriedade da raiz:
Como
quando
, temos
. Logo
Passo 4
Substituímos essa expressão no quociente e simplificamos dividindo numerador e denominador por
:
Dividindo cima e baixo por
(válido porque
para
grande):
Passo 5
Agora analisamos os limites das partes que restaram quando
. Note que
,
e
. Assim o argumento da raiz tende a
e o denominador tende a
. Usamos a continuidade da função
(função contínua para argumentos positivos) para trocar limite e função:
E
Passo 6
Com tudo isso, o limite do quociente é o quociente dos limites (o denominador do limite não é zero, pois tende a
):
Intuição rápida: numerador cresce como
e denominador como
, então a razão tende a
.
Passo 7
Dica prática para provas: sempre identifique a maior potência de
que domina a expressão (aqui foi
dentro da raiz, que corresponde a
depois de tirar a quarta raiz). Factorizar e simplificar é quase sempre o caminho mais direto para limites no infinito envolvendo raízes e polinômios.