Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{8}-1}{x^{5}-1}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{8}-1}{x^{5}-1}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre dois polinômios em x. A tarefa é calcular o limite quando x tende a 1. Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Primeiro tentamos a substituição direta: calculemos os valores no numerador e no denominador em x=1.
1^{8}-1=0,\qquad 1^{5}-1=0.
Obtemos a forma \frac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta e precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Uma técnica básica para lidar com diferenças de potências é usar a fatoração
a^{n}-b^{n}=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Aqui a e b são quaisquer números (ou símbolos) e n é inteiro positivo. No caso especial b=1 isso vira
x^{n}-1=(x-1)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\bigr).
Essa identidade pode ser verificada multiplicando o fator (x-1) pelo polinômio geométrico ou usando a soma da progressão geométrica.

Passo 4

Aplicando a fatoração ao numerador e ao denominador com n=8 e n=5 obtemos:
x^{8}-1=(x-1)\bigl(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr),
x^{5}-1=(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).

Passo 5

Substituímos essas expressões na razão original:
\frac{x^{8}-1}{x^{5}-1} = \frac{(x-1)\bigl(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}{(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}.
Como x tende a 1 mas x\neq 1 nas aproximações, podemos cancelar o fator comum (x-1), o que remove a indeterminação:
\frac{x^{8}-1}{x^{5}-1} = \frac{x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1},\qquad x\neq 1.

Passo 6

Agora a expressão à direita é um quociente de polinômios que é contínuo em x=1. Pela continuidade dos polinômios, podemos avaliar o limite substituindo x=1. Calculamos as somas no numerador e no denominador ao tomar x=1:
\text{numerador em }x=1:\;1^{7}+1^{6}+1^{5}+1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1 = 8,
\text{denominador em }x=1:\;1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1 = 5.
Portanto o valor do quociente quando x\to 1 é \frac{8}{5}.

Passo 7

Concluímos que o limite buscado é \frac{8}{5}. (Observação: outra forma de chegar ao mesmo resultado seria aplicar a regra de L’Hôpital duas vezes, mas a fatoração acima é mais direta e elementar.)

Resposta

\dfrac{8}{5}

Exercícios relacionados