Calcule os limites:
Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações dadas: a expressão é a razão entre dois polinômios em
. A tarefa é calcular o limite quando
tende a
. Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Primeiro tentamos a substituição direta: calculemos os valores no numerador e no denominador em
.
Obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta e precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.
Passo 3
Uma técnica básica para lidar com diferenças de potências é usar a fatoração
Aqui
e
são quaisquer números (ou símbolos) e
é inteiro positivo. No caso especial
isso vira
Essa identidade pode ser verificada multiplicando o fator
pelo polinômio geométrico ou usando a soma da progressão geométrica.
Passo 4
Aplicando a fatoração ao numerador e ao denominador com
e
obtemos:
Passo 5
Substituímos essas expressões na razão original:
Como
tende a
mas
nas aproximações, podemos cancelar o fator comum
, o que remove a indeterminação:
Passo 6
Agora a expressão à direita é um quociente de polinômios que é contínuo em
. Pela continuidade dos polinômios, podemos avaliar o limite substituindo
. Calculamos as somas no numerador e no denominador ao tomar
:
Portanto o valor do quociente quando
é
.
Passo 7
Concluímos que o limite buscado é
. (Observação: outra forma de chegar ao mesmo resultado seria aplicar a regra de L’Hôpital duas vezes, mas a fatoração acima é mais direta e elementar.)