Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas que vamos usar:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Ambos têm termos de maiores potências iguais a
(grau ) com coeficientes no numerador e no denominador. - A variável
tende a .
Passo 2
Ideia usada (explicação didática): quando temos uma razão de polinômios e
vai para infinito (ou menos infinito), os termos de maior grau dominam o comportamento da razão — os termos de grau menor tornam-se desprezíveis. Uma forma rigorosa de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência presente (aqui
). Antes de fazer as contas, recorde curto sobre limites de potências negativas: se
então
porque
e o denominador cresce sem limite em módulo, fazendo a fração tender a zero. Exemplos simples:
e
.
Passo 3
Vamos dividir numerador e denominador por
. Escrevo a expressão inicial e faço a divisão termo a termo:
Passo 4
Simplificando cada fração obtemos
Agora tomamos o limite termo a termo quando
. Pelas observações do Passo 2, todos os termos com potências negativas vão a zero:
Portanto o limite da razão é igual ao quociente dos termos constantes que sobraram:
Passo 5
Compute o quociente final:
Como verificação rápida: isso coincide com a ideia intuitiva de que os termos de maior grau dominam, logo a razão tende ao quociente dos coeficientes dos termos
, ou seja
.