Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{6 x^{9}-10 x^{4}-9}{-2 x^{9}+x^{2}-10}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{6x^{9}-10x^{4}-9}{-2x^{9}+x^{2}-10}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é o polinômio 6x^{9}-10x^{4}-9.
  • O denominador é o polinômio -2x^{9}+x^{2}-10.
  • Ambos têm termos de maiores potências iguais a x^{9} (grau 9) com coeficientes 6 no numerador e -2 no denominador.
  • A variável x tende a -\infty.

Passo 2

Ideia usada (explicação didática): quando temos uma razão de polinômios e x vai para infinito (ou menos infinito), os termos de maior grau dominam o comportamento da razão — os termos de grau menor tornam-se desprezíveis. Uma forma rigorosa de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência presente (aqui x^{9}). Antes de fazer as contas, recorde curto sobre limites de potências negativas: se k>0 então
\lim_{x\to \pm\infty} x^{-k} = 0,
porque x^{-k} = 1/x^{k} e o denominador cresce sem limite em módulo, fazendo a fração tender a zero. Exemplos simples: \lim_{x\to -\infty} 1/x = 0 e \lim_{x\to -\infty} 1/x^{2} = 0.

Passo 3

Vamos dividir numerador e denominador por x^{9}. Escrevo a expressão inicial e faço a divisão termo a termo:
\frac{6x^{9}-10x^{4}-9}{-2x^{9}+x^{2}-10} = \frac{\dfrac{6x^{9}}{x^{9}}-\dfrac{10x^{4}}{x^{9}}-\dfrac{9}{x^{9}}}{\dfrac{-2x^{9}}{x^{9}}+\dfrac{x^{2}}{x^{9}}-\dfrac{10}{x^{9}}}.

Passo 4

Simplificando cada fração obtemos
\frac{6 - 10x^{-5} - 9x^{-9}}{-2 + x^{-7} - 10x^{-9}}.
Agora tomamos o limite termo a termo quando x\to -\infty. Pelas observações do Passo 2, todos os termos com potências negativas vão a zero:
\lim_{x\to -\infty} 10x^{-5} = 0,\qquad \lim_{x\to -\infty} 9x^{-9} = 0,\qquad \lim_{x\to -\infty} x^{-7} = 0,\qquad \lim_{x\to -\infty} 10x^{-9} = 0.
Portanto o limite da razão é igual ao quociente dos termos constantes que sobraram:
\lim_{x\to -\infty} \frac{6 - 10x^{-5} - 9x^{-9}}{-2 + x^{-7} - 10x^{-9}} = \frac{6}{-2}.

Passo 5

Compute o quociente final:
\frac{6}{-2} = -3.
Como verificação rápida: isso coincide com a ideia intuitiva de que os termos de maior grau dominam, logo a razão tende ao quociente dos coeficientes dos termos x^{9}, ou seja 6/(-2)=-3.

Resposta

-3

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