Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite, quando
, do vetor
As perguntas implícitas são: existe o limite desse vetor em
? Se existir, qual é o vetor limite? Os dados relevantes são as três componentes:
,
e
.
Passo 2
Regra importante (teorema sobre limites de funções vetoriais): o limite de uma função vetorial existe se, e somente se, os limites de cada componente existem como números reais; nesse caso o limite vetorial é o vetor formado pelos limites das componentes. Em linguagem matemática: se
então
existe exatamente quando existem
para
. Vou aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Primeira componente:
. A função
é contínua em todo
, portanto o limite ao aproximar
de
é simplesmente o valor da função em
:
Nota útil: por paridade,
, mas tanto faz escrever
ou
.
Passo 4
Segunda componente:
. A função seno também é contínua em todo
, logo
Observação:
, se precisar de uma forma alternativa.
Passo 5
Terceira componente:
. Aqui é preciso cuidar do domínio da função
: em análise real,
está definida apenas para
. Portanto a função
só está definida para
. Para que exista
no sentido real precisamos que a função esteja definida em valores arbitrariamente próximos de
(exceto possivelmente no próprio
), isto é, precisa existir uma vizinhança pontuada de
contida no domínio. Mas isso não acontece: qualquer vizinhança de
contém muitos pontos negativos (por exemplo
,
, etc.), e para esses
a expressão
não é definida no conjunto dos números reais. Em particular não há sequências de pontos do domínio (números
) que se aproximem de
pela reta real, porque números positivos não podem tender a
. Por isso a terceira componente não tem limite real quando
: a própria função
não está definida em qualquer vizinhança pontuada de
.
Passo 6
Conclusão com base no passo anterior e na regra dos limites coordenados: como a terceira componente não tem limite (nem sequer está definida perto de
em
), o limite do vetor
quando
não existe como vetor em
. (Se alguém estender a ideia para logaritmo complexo, aí a história muda, mas no contexto de funções reais o limite não existe.)
Resposta
Não existe.