Calcule os limites:
\lim _{t \to -1}\langle\cos t, \operatorname{sen} t, t \ln t\rangle

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando t\to -1, do vetor
\langle \cos t,\\ \operatorname{sen} t,\\ t\ln t\rangle.
As perguntas implícitas são: existe o limite desse vetor em \mathbb{R}^3? Se existir, qual é o vetor limite? Os dados relevantes são as três componentes: \cos t, \operatorname{sen} t e t\ln t.

Passo 2

Regra importante (teorema sobre limites de funções vetoriais): o limite de uma função vetorial existe se, e somente se, os limites de cada componente existem como números reais; nesse caso o limite vetorial é o vetor formado pelos limites das componentes. Em linguagem matemática: se
\mathbf{f}(t)=\langle f_1(t),f_2(t),f_3(t)\rangle,
então
\lim_{t\to a}\mathbf{f}(t)=\langle L_1,L_2,L_3\rangle
existe exatamente quando existem \lim_{t\to a}f_i(t)=L_i para i=1,2,3. Vou aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Primeira componente: \cos t. A função \cos t é contínua em todo \mathbb{R}, portanto o limite ao aproximar t de -1 é simplesmente o valor da função em -1:
\lim_{t\to -1}\cos t=\cos(-1).
Nota útil: por paridade, \cos(-1)=\cos 1, mas tanto faz escrever \cos(-1) ou \cos 1.

Passo 4

Segunda componente: \operatorname{sen} t. A função seno também é contínua em todo \mathbb{R}, logo
\lim_{t\to -1}\operatorname{sen} t=\operatorname{sen}(-1).
Observação: \operatorname{sen}(-1)=-\operatorname{sen}(1), se precisar de uma forma alternativa.

Passo 5

Terceira componente: t\ln t. Aqui é preciso cuidar do domínio da função \ln t: em análise real, \ln t está definida apenas para t>0. Portanto a função t\ln t só está definida para t>0. Para que exista \lim_{t\to -1} t\ln t no sentido real precisamos que a função esteja definida em valores arbitrariamente próximos de -1 (exceto possivelmente no próprio -1), isto é, precisa existir uma vizinhança pontuada de -1 contida no domínio. Mas isso não acontece: qualquer vizinhança de -1 contém muitos pontos negativos (por exemplo -1{,}1, -0{,}9, etc.), e para esses t\le 0 a expressão \ln t não é definida no conjunto dos números reais. Em particular não há sequências de pontos do domínio (números >0) que se aproximem de -1 pela reta real, porque números positivos não podem tender a -1. Por isso a terceira componente não tem limite real quando t\to -1: a própria função t\ln t não está definida em qualquer vizinhança pontuada de -1.

Passo 6

Conclusão com base no passo anterior e na regra dos limites coordenados: como a terceira componente não tem limite (nem sequer está definida perto de -1 em \mathbb{R}), o limite do vetor \langle \cos t,\operatorname{sen} t,t\ln t\rangle quando t\to -1 não existe como vetor em \mathbb{R}^3. (Se alguém estender a ideia para logaritmo complexo, aí a história muda, mas no contexto de funções reais o limite não existe.)

Resposta

Não existe.

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