Esboce o gráfico das funções (todas 2 \pi - periódicas). Encontre a série de Fourier. f(x)=x^{2}, \quad-\pi<x<\pi
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=x^{2} definida em -\pi<x<\pi e pede duas coisas: (i) esboçar o gráfico da extensão 2\pi-periódica dessa função; (ii) encontrar a série de Fourier dessa extensão. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Função em -\pi<x<\pi: \,f(x)=x^{2}.
A extensão é 2\pi-periódica (ou seja, repetir o trecho -\pi<x<\pi para todo x com período 2\pi).
As perguntas portanto são: (a) como é o gráfico periódico (esboço qualitativo); (b) qual é a série de Fourier de período 2\pi que representa essa função.
Passo 2
Lembrete da fórmula geral da série de Fourier de período 2\pi. Para uma função periódica de período 2\pi, a série de Fourier é
Explicando: a_{n} mede a projeção da função sobre \cos(nx) e b_{n} sobre \sin(nx). A série soma modos harmônicos \cos(nx) e \sin(nx) com essas amplitudes. Antes de integrar, usar propriedades de simetria facilita: f(x)=x^{2} é uma função par, isto é, f(-x)=f(x). Para funções pares tem-se b_{n}=0 (pois f(x)\sin(nx) é ímpar) e as integrais para a_n podem ser dobradas para o intervalo [0,\pi].
Agora calcular I_{n}=\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx. Usar integração por partes duas vezes. Primeiro passo de partes: escolha u=x^{2} e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
O termo de bordo vale \dfrac{\pi^{2}\sin(n\pi)}{n}-0=0 porque \sin(n\pi)=0. Logo
I_{n}=-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Agora calcular J_{n}=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx. Integração por partes de novo: escolha u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
O primeiro termo é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}+0=-\dfrac{\pi(-1)^{n}}{n}. A segunda integral é \dfrac{1}{n}\bigl[\sin(nx)\bigr]_{0}^{\pi}=\dfrac{1}{n}(\sin(n\pi)-0)=0. Portanto
Esta igualdade vale ponto a ponto em -\pi<x<\pi. Para x=\pm\pi a série converge para o valor de média dos limites laterais; aqui esses limites laterais coincidem com \pi^{2}, então a série também converge para \pi^{2} em x=\pm\pi.
Passo 7
Comentário sobre convergência e regularidade (didático e prático para a prova). A função periódica obtida é contínua em todos os pontos (em particular em x=\pm\pi a esquerda e a direita têm o mesmo valor \pi^{2}), mas a derivada apresenta descontinuidade nos pontos x=k\pi (salto na derivada porque a derivada lateral em \pi é 2\pi pela esquerda e -2\pi pela direita). Para funções contínuas e com derivada à esquerda e à direita (funções de classe piecewise C^1), a série de Fourier converge uniformemente aos pontos onde a função é suave e converge ponto a ponto para o valor da função; em pontos de descontinuidade da derivada, a série ainda converge para o valor médio dos limites laterais (aqui iguais). Em resumo: a série acima é a representação correta do 2\pi-período de x^{2}.
Passo 8
Esboço do gráfico (instruções para desenhar na prova). Para desenhar a extensão 2\pi-periódica:
No intervalo -\pi\le x\le\pi desenhar a parábola y=x^{2}, com mínimo em x=0 valendo 0 e valores nas extremidades y(\pm\pi)=\pi^{2}.
Repetir esse “arco” parabólico para todos os intervalos [\pi,3\pi],[ -3\pi,-\pi], etc., deslocando horizontalmente de 2\pi em 2\pi. O gráfico fica então como uma sequência de “vales” parabólicos, unidos continuamente em x=k\pi (valor contínuo \pi^{2} nos pontos de junção) mas com mudança de inclinação (cantos suaves) nesses pontos.
Como dica: marque pontos -2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi no eixo x e plote a parábola central; depois repita o padrão.
Resposta
Esboço: função periódica formada por parábolas y=x^{2} no intervalo -\pi\le x\le\pi repetidas de 2\pi em 2\pi; mínimo 0 em x=0 e valores \pi^{2} em x=\pm\pi, com as parábolas repetidas para todo x.