Esboce o gráfico das funções (todas 2 \pi - periódicas). Encontre a série de Fourier.
f(x)=x^{2}, \quad-\pi<x<\pi

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} definida em -\pi<x<\pi e pede duas coisas: (i) esboçar o gráfico da extensão 2\pi-periódica dessa função; (ii) encontrar a série de Fourier dessa extensão. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função em -\pi<x<\pi: \,f(x)=x^{2}.
  • A extensão é 2\pi-periódica (ou seja, repetir o trecho -\pi<x<\pi para todo x com período 2\pi).
    As perguntas portanto são: (a) como é o gráfico periódico (esboço qualitativo); (b) qual é a série de Fourier de período 2\pi que representa essa função.

Passo 2

Lembrete da fórmula geral da série de Fourier de período 2\pi. Para uma função periódica de período 2\pi, a série de Fourier é
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,
e
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Explicando: a_{n} mede a projeção da função sobre \cos(nx) e b_{n} sobre \sin(nx). A série soma modos harmônicos \cos(nx) e \sin(nx) com essas amplitudes. Antes de integrar, usar propriedades de simetria facilita: f(x)=x^{2} é uma função par, isto é, f(-x)=f(x). Para funções pares tem-se b_{n}=0 (pois f(x)\sin(nx) é ímpar) e as integrais para a_n podem ser dobradas para o intervalo [0,\pi].

Passo 3

Calcular a_{0}. Como f é par,
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^{2}\,dx.
Avalia a integral básica:
\int_{0}^{\pi} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{3}}{3}.
Logo
a_{0}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{3}}{3}=\frac{2\pi^{2}}{3}.
Portanto o termo constante da série é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{\pi^{2}}{3}.

Passo 4

Mostrar que b_{n}=0 para todo n. Para n\ge1,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\sin(nx)\,dx.
Aqui o integrando x^{2}\sin(nx) é função ímpar (produto de par x^{2} por ímpar \sin(nx)), logo a integral em [-\pi,\pi] é zero. Portanto
b_{n}=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Calcular a_{n}. Pela paridade,
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx.
Agora calcular I_{n}=\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx. Usar integração por partes duas vezes. Primeiro passo de partes: escolha u=x^{2} e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
I_{n}=\left.\frac{x^{2}\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
O termo de bordo vale \dfrac{\pi^{2}\sin(n\pi)}{n}-0=0 porque \sin(n\pi)=0. Logo
I_{n}=-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Agora calcular J_{n}=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx. Integração por partes de novo: escolha u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
J_{n}=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
O primeiro termo é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}+0=-\dfrac{\pi(-1)^{n}}{n}. A segunda integral é \dfrac{1}{n}\bigl[\sin(nx)\bigr]_{0}^{\pi}=\dfrac{1}{n}(\sin(n\pi)-0)=0. Portanto
J_{n}=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Substituindo em I_{n},
I_{n}=-\frac{2}{n}\cdot J_{n}=-\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right)=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Portanto
a_{n}=\frac{2}{\pi}I_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 6

Escrever a série de Fourier completa. Como b_{n}=0, a_{0}/2=\pi^{2}/3 e a_{n}=\dfrac{4(-1)^{n}}{n^{2}}, a série é
\boxed{\,x^{2}=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx),\qquad -\pi<x<\pi\,}
Esta igualdade vale ponto a ponto em -\pi<x<\pi. Para x=\pm\pi a série converge para o valor de média dos limites laterais; aqui esses limites laterais coincidem com \pi^{2}, então a série também converge para \pi^{2} em x=\pm\pi.

Passo 7

Comentário sobre convergência e regularidade (didático e prático para a prova). A função periódica obtida é contínua em todos os pontos (em particular em x=\pm\pi a esquerda e a direita têm o mesmo valor \pi^{2}), mas a derivada apresenta descontinuidade nos pontos x=k\pi (salto na derivada porque a derivada lateral em \pi é 2\pi pela esquerda e -2\pi pela direita). Para funções contínuas e com derivada à esquerda e à direita (funções de classe piecewise C^1), a série de Fourier converge uniformemente aos pontos onde a função é suave e converge ponto a ponto para o valor da função; em pontos de descontinuidade da derivada, a série ainda converge para o valor médio dos limites laterais (aqui iguais). Em resumo: a série acima é a representação correta do 2\pi-período de x^{2}.

Passo 8

Esboço do gráfico (instruções para desenhar na prova). Para desenhar a extensão 2\pi-periódica:
  • No intervalo -\pi\le x\le\pi desenhar a parábola y=x^{2}, com mínimo em x=0 valendo 0 e valores nas extremidades y(\pm\pi)=\pi^{2}.
  • Repetir esse “arco” parabólico para todos os intervalos [\pi,3\pi],[ -3\pi,-\pi], etc., deslocando horizontalmente de 2\pi em 2\pi. O gráfico fica então como uma sequência de “vales” parabólicos, unidos continuamente em x=k\pi (valor contínuo \pi^{2} nos pontos de junção) mas com mudança de inclinação (cantos suaves) nesses pontos.
  • Como dica: marque pontos -2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi no eixo x e plote a parábola central; depois repita o padrão.

Resposta

Esboço: função periódica formada por parábolas y=x^{2} no intervalo -\pi\le x\le\pi repetidas de 2\pi em 2\pi; mínimo 0 em x=0 e valores \pi^{2} em x=\pm\pi, com as parábolas repetidas para todo x.
Série de Fourier:
x^{2}=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).

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