Em sala de aula, nós utilizamos muito a relação
para
. Mostre como isso afeta a precisão do seu resultado.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede-se quantificar como a aproximação
para afeta a precisão do resultado. - Informação dada: estamos no regime de ângulos pequenos (usar radianos).
- Objetivo explícito: calcular a ordem do erro (absoluto e relativo), dar uma fórmula prática e exemplos numéricos para ver quão boa é a aproximação.
Passo 2
Conceito usado (aula rápida sobre séries de Taylor, sem pressa):
- Para funções suaves em torno de
podemos desenvolver em série de Taylor (Maclaurin). Isso significa escrever cada função como soma de potências de cujo coeficiente é derivada da função em . Ou seja, é uma forma de aproximar a função por polinômios quando é pequeno. - As expansões que vamos usar (válidas para
pequeno, em radianos) são:
- A tangente pode ser obtida como
. Uma maneira prática é usar a expansão da secante e multiplicar por . Conhece-se a expansão
(Se quiser, eu mostro a multiplicação termo a termo; aqui usamos os termos necessários até ordem
.)
Passo 3
Calcular o erro absoluto entre
e
:
- Subtraindo as séries:
- Cancelando
e somando coeficientes:
- Conclusão imediata: o erro absoluto principal (termo dominante para
) é
Isto diz que a diferença entre
e
cresce como a potência cúbica do ângulo.
Passo 4
Erro relativo (mais útil na prática):
- Como para
pequeno temos e , uma boa estimativa do erro relativo (por exemplo, ) é
- Portanto o erro relativo é da ordem de
. Em palavras: se for pequeno, a fração de erro decresce como o quadrado do ângulo.
Passo 5
Interpretação prática e regra de bolso:
- Erro absoluto dominante:
- Erro relativo dominante:
- Para uma tolerância relativa desejada
(por exemplo para ), basta resolver , isto é
- Exemplo numérico (ângulos em radianos e em graus aproximados usando
): - Para
( ): . - Para
( ): . - Para
( ): .
- Para
Passo 6
Verificação numérica rápida (para sentir os números):
- Tome
rad ( ): -
, -
, - diferença
, que é muito próximo de . O erro relativo é (ou ), conforme a previsão de .
-
- Tome
rad ( ): -
, -
, - diferença
, que coincide com . Erro relativo (ou ), que é .
-
Passo 7
Conclusão (e conselho amigo):
- A aproximação
introduz um erro absoluto da ordem e um erro relativo da ordem . - Em prática, para erros relativos da ordem de
a aproximação é aceitável até cerca de ; para precisa-se de ângulos menores que . - Ou seja: funciona bem para “muito pequeno” (na prática,
rad é uma boa referência), mas não é adequada quando se exige precisão percentuais pequenas se não for realmente pequeno.
Resposta
Erro absoluto principal:
Erro relativo principal:
Regra prática: para tolerância relativa , escolher
(ex.:
).
Erro relativo principal:
Regra prática: para tolerância relativa