Em sala de aula, nós utilizamos muito a relação \operatorname{sen} \theta=\operatorname{tg} \theta para \theta \simeq 0. Mostre como isso afeta a precisão do seu resultado.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se quantificar como a aproximação \operatorname{sen}\theta=\operatorname{tg}\theta para \theta\simeq0 afeta a precisão do resultado.
  • Informação dada: estamos no regime de ângulos pequenos (usar radianos).
  • Objetivo explícito: calcular a ordem do erro (absoluto e relativo), dar uma fórmula prática e exemplos numéricos para ver quão boa é a aproximação.

Passo 2

Conceito usado (aula rápida sobre séries de Taylor, sem pressa):
  • Para funções suaves em torno de 0 podemos desenvolver em série de Taylor (Maclaurin). Isso significa escrever cada função como soma de potências de \theta cujo coeficiente é derivada da função em 0. Ou seja, é uma forma de aproximar a função por polinômios quando \theta é pequeno.
  • As expansões que vamos usar (válidas para \theta pequeno, em radianos) são:
\operatorname{sen}\theta=\theta-\frac{\theta^{3}}{6}+\frac{\theta^{5}}{120}+O(\theta^{7}),
\cos\theta=1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{24}+O(\theta^{6}).
  • A tangente pode ser obtida como \operatorname{tg}\theta=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}. Uma maneira prática é usar a expansão da secante \operatorname{sec}\theta=1/\cos\theta e multiplicar por \operatorname{sen}\theta. Conhece-se a expansão
\operatorname{tg}\theta=\theta+\frac{\theta^{3}}{3}+\frac{2\theta^{5}}{15}+O(\theta^{7}).
(Se quiser, eu mostro a multiplicação termo a termo; aqui usamos os termos necessários até ordem 5.)

Passo 3

Calcular o erro absoluto entre \operatorname{tg}\theta e \operatorname{sen}\theta:
  • Subtraindo as séries:
\operatorname{tg}\theta-\operatorname{sen}\theta =\left(\theta+\frac{\theta^{3}}{3}+\frac{2\theta^{5}}{15}+O(\theta^{7})\right) -\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{6}+\frac{\theta^{5}}{120}+O(\theta^{7})\right).
  • Cancelando \theta e somando coeficientes:
\operatorname{tg}\theta-\operatorname{sen}\theta =\frac{\theta^{3}}{2}+\frac{\theta^{5}}{8}+O(\theta^{7}).
  • Conclusão imediata: o erro absoluto principal (termo dominante para \theta\to0) é
\text{erro absoluto}\approx\frac{\theta^{3}}{2}.
Isto diz que a diferença entre \operatorname{tg}\theta e \operatorname{sen}\theta cresce como a potência cúbica do ângulo.

Passo 4

Erro relativo (mais útil na prática):
  • Como para \theta pequeno temos \operatorname{sen}\theta\approx\theta e \operatorname{tg}\theta\approx\theta, uma boa estimativa do erro relativo (por exemplo, \dfrac{\operatorname{tg}\theta-\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{sen}\theta}) é
\frac{\operatorname{tg}\theta-\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{sen}\theta} \approx\frac{\frac{\theta^{3}}{2}}{\theta}=\frac{\theta^{2}}{2}.
  • Portanto o erro relativo é da ordem de \theta^{2}/2. Em palavras: se \theta for pequeno, a fração de erro decresce como o quadrado do ângulo.

Passo 5

Interpretação prática e regra de bolso:
  • Erro absoluto dominante: \displaystyle E_{\text{abs}}\simeq\frac{\theta^{3}}{2}.
  • Erro relativo dominante: \displaystyle E_{\text{rel}}\simeq\frac{\theta^{2}}{2}.
  • Para uma tolerância relativa desejada \delta (por exemplo \delta=0,01 para 1\%), basta resolver \dfrac{\theta^{2}}{2}\le\delta, isto é
\theta\le\sqrt{2\delta}.
  • Exemplo numérico (ângulos em radianos e em graus aproximados usando 1\\ \text{rad}\approx57{,}296^\circ):
    • Para \delta=1\% ( 0{,}01): \theta\le\sqrt{0{,}02}\approx0{,}1414\\ \text{rad}\approx8{,}10^\circ.
    • Para \delta=0{,}5\% ( 0{,}005): \theta\le\sqrt{0{,}01}=0{,}1\\ \text{rad}\approx5{,}73^\circ.
    • Para \delta=0{,}1\% ( 0{,}001): \theta\le\sqrt{0{,}002}\approx0{,}0447\\ \text{rad}\approx2{,}56^\circ.

Passo 6

Verificação numérica rápida (para sentir os números):
  • Tome \theta=0{,}1 rad ( \approx5{,}73^\circ):
    • \operatorname{sen}(0{,}1)\approx0{,}0998334166,
    • \operatorname{tg}(0{,}1)\approx0{,}1003346721,
    • diferença \approx0{,}0005012554, que é muito próximo de \theta^{3}/2=0{,}001/2=0{,}0005. O erro relativo é \approx0{,}0005/0{,}0998\approx0{,}005 (ou 0{,}5\%), conforme a previsão de \theta^{2}/2=0{,}01/2=0{,}005.
  • Tome \theta=0{,}05 rad ( \approx2{,}86^\circ):
    • \operatorname{sen}(0{,}05)\approx0{,}04997916927,
    • \operatorname{tg}(0{,}05)\approx0{,}05004170833,
    • diferença \approx0{,}00006253906, que coincide com \theta^{3}/2=0{,}000125/2=0{,}0000625. Erro relativo \approx0{,}00125 (ou 0{,}125\%), que é \theta^{2}/2=(0{,}05^{2})/2=0{,}00125.

Passo 7

Conclusão (e conselho amigo):
  • A aproximação \operatorname{sen}\theta=\operatorname{tg}\theta introduz um erro absoluto da ordem \theta^{3}/2 e um erro relativo da ordem \theta^{2}/2.
  • Em prática, para erros relativos da ordem de 1\% a aproximação é aceitável até cerca de 8^\circ; para 0{,}1\% precisa-se de ângulos menores que \sim2{,}6^\circ.
  • Ou seja: funciona bem para “muito pequeno” (na prática, \theta\lesssim0{,}1 rad é uma boa referência), mas não é adequada quando se exige precisão percentuais pequenas se \theta não for realmente pequeno.

Resposta

Erro absoluto principal: \displaystyle \operatorname{tg}\theta-\operatorname{sen}\theta\approx\frac{\theta^{3}}{2}.
Erro relativo principal: \displaystyle \frac{\operatorname{tg}\theta-\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{sen}\theta}\approx\frac{\theta^{2}}{2}.
Regra prática: para tolerância relativa \delta, escolher \displaystyle \theta\le\sqrt{2\delta} (ex.: \delta=1\%\Rightarrow\theta\lesssim0{,}1414\\ \text{rad}\approx8{,}1^\circ).

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