Calcule os limites:
lim x +infty 3 x+1x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está ligado ao cálculo de limites de funções racionais, onde a gente analisa o comportamento da função quando cresce sem parar, ou seja, tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como as potências de no numerador e no denominador influenciam o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é (grau 1) e no denominador é (grau 2). Quando tende ao infinito, os termos de menor grau acabam tendo pouca influência no resultado final.

Passo 3

Agora, para simplificar o limite, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador pelo maior grau presente no denominador, que é lim x +infty 3x + 1x^2 + 1 = lim x +infty 3xx^2 + 1x^2x^2x^2 + 1x^2 . Isso ajuda a visualizar melhor o comportamento da função conforme cresce.

Passo 4

Simplificando cada fração, temos:
3xx^2 = 3x e 1x^2 = 1x^2
Então, o limite fica:
lim x +infty 3x + 1x^21 + 1x^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando 0 + 01 + 0 = 01 = 0 tende ao infinito:
  • tende a 0, porque qualquer número dividido por um valor que cresce sem parar resulta em algo muito pequeno, próximo de 0.
  • também tende a 0 pelas mesmas razões.
Então, substituindo no limite:

Resposta

O limite é igual a .

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