Calcule os limites
lim x infty(3 x+3x)^2 x+3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxtoinftyl(3x+3xr)^2x+3. O conteúdo aqui é limite de função exponencial com base dependente de x. Vamos precisar simplificar a base e, em seguida, usar logaritmo para analisar o comportamento do expoente.

Passo 2

Primeiro, observe que
3x+3x=3+3x
Então a expressão fica
y=(3+tfrac3x)^2x+3

Passo 3

Para tratar limites envolvendo potência, é útil usar o logaritmo natural. Defina y=(3+3/x)^2x+3 e considere
ln y=(2x+3)lnl(3+3xr)

Passo 4

Como xtoinfty, podemos expandir o logaritmo usando
lnl(3+tfrac3xr)=ln3+lnl(1+tfrac1xr)approxln3+1x(para x grande)
Substituindo no expoente:
ln yapprox(2x+3)l(ln3+tfrac1xr)=2xln3+2+3ln3+tfrac3x

Passo 5

À medida que xtoinfty, o termo dominante é 2xln3, que tende a +infty. Logo ln yto+infty, o que implica yto+infty.

Resposta

+\infty

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