CEFET/RJ - Prova 1 - Cálculo a Várias Variáveis - Prof.: Rodrigo Peres
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Observações: (i) Sua prova tem 4 questões divididas em duas folhas frente e verso; (ii) Serão aceitas apenas respostas com o desenvolvimento necessário; (iii) é proibido o uso de calculadora ou qualquer equipamento eletrônico; (iv) mantenha seu celular desligado.
Um parque é representado por uma região D no plano xy , tal que a temperatura em um ponto ( x, y ) é dada por T(x, y)=42-x^2-3 y^2.
Se uma pessoa está no ponto (2, 1), em que direção ela deve andar para que a temperatura aumente mais rapidamente?

Passo 1

Nesse exercício, temos o campo escalar de temperatura dado por T(x,y)=42−x²−3y² e o ponto (2,1). O conteúdo envolvido é cálculo de gradiente para identificar a direção de maior aumento de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para encontrar a direção de subida mais rápida, precisamos calcular o gradiente de T, definido por ∇T(x,y)=(∂T/∂x,∂T/∂y). Como T(x,y)=42−x²−3y², temos ∂T/∂x=−2x e ∂T/∂y=−6y. Portanto,

Passo 3

∇T(x,y)=(-2x,−6y).

Passo 4

Avaliando em (2,1) resulta em ∇T(2,1)=(-4,−6). Para obter só a direção, normalizamos esse vetor dividindo pela sua norma. A norma é √[(-4)²+(-6)²]=√52=2√13, então o vetor unitário é (-4,−6)/(2√13)=(-2/√13,−3/√13).

Resposta

\left(-\frac{2}{\sqrt{13}},,-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)

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