Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede-se calcular o limite
. - A única informação numérica é que a variável
tende a . - Não há restrições adicionais; devemos manipular a expressão algébrica/trigonométrica para obter o limite.
Passo 2
Primeira ideia útil: fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos. Lembra da fórmula geral
Aqui podemos tomar
e
. Portanto
Essa fatoração muitas vezes simplifica limites porque separa uma parte que tende a zero (aqui
) de uma parte que tende a um valor finito.
Passo 3
Agora use uma identidade trigonométrica para transformar
em termos de seno do meio-ângulo. A identidade de ângulo duplo para o cosseno é
Tomando
(ou seja
) obtemos
Isolando
vem
Passo 4
Escreva também o denominador
em termos de
do meio-ângulo. A fórmula do seno do ângulo duplo é
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Substituindo as expressões do Passo 2 e do Passo 3 na fração inicial e usando a expressão do Passo 4 para o denominador:
Agora podemos cancelar o fator
(ele é não-negativo e para
perto de
não causa divisão por zero porque aparece em numerador e denominador):
Passo 6
Agora avaliamos o limite usando continuidade das funções trigonométricas:
e
são contínuas em
, logo podemos substituir
diretamente na expressão simplificada:
Passo 7
Pequeno comentário de verificação (opcional): usando séries de Taylor,
e
; ao substituir e desenvolver até ordem
também se obtém
, o que confirma o resultado acima.