Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{3} x}{\operatorname{sen}^{2} x},

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{2}x}.
  • A única informação numérica é que a variável x tende a 0.
  • Não há restrições adicionais; devemos manipular a expressão algébrica/trigonométrica para obter o limite.

Passo 2

Primeira ideia útil: fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos. Lembra da fórmula geral
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aqui podemos tomar a=1 e b=\cos x. Portanto
1-\cos^{3}x=(1-\cos x)\bigl(1+\cos x+\cos^{2}x\bigr).
Essa fatoração muitas vezes simplifica limites porque separa uma parte que tende a zero (aqui 1-\cos x) de uma parte que tende a um valor finito.

Passo 3

Agora use uma identidade trigonométrica para transformar 1-\cos x em termos de seno do meio-ângulo. A identidade de ângulo duplo para o cosseno é
\cos(2t)=1-2\sin^{2}t.
Tomando 2t=x (ou seja t=x/2) obtemos
\cos x = 1-2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Isolando 1-\cos x vem
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 4

Escreva também o denominador \operatorname{sen}^{2}x em termos de \sin do meio-ângulo. A fórmula do seno do ângulo duplo é
\sin x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Elevando ao quadrado:
\operatorname{sen}^{2}x = \sin^{2}x = 4\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 5

Substituindo as expressões do Passo 2 e do Passo 3 na fração inicial e usando a expressão do Passo 4 para o denominador:
\frac{1-\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{(1-\cos x)\bigl(1+\cos x+\cos^{2}x\bigr)}{\sin^{2}x} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\bigl(1+\cos x+\cos^{2}x\bigr)}{4\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
Agora podemos cancelar o fator \sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) (ele é não-negativo e para x perto de 0 não causa divisão por zero porque aparece em numerador e denominador):
\frac{1-\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{1+\cos x+\cos^{2}x}{2\cos^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.

Passo 6

Agora avaliamos o limite usando continuidade das funções trigonométricas: \cos x e \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) são contínuas em x=0, logo podemos substituir x=0 diretamente na expressão simplificada:
\lim_{x\to 0}\frac{1+\cos x+\cos^{2}x}{2\cos^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)} = \frac{1+\cos 0+\cos^{2}0}{2\cos^{2}0} = \frac{1+1+1}{2\cdot 1} = \frac{3}{2}.

Passo 7

Pequeno comentário de verificação (opcional): usando séries de Taylor, \cos x = 1-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}) e \sin x = x+o(x); ao substituir e desenvolver até ordem x^{2} também se obtém \dfrac{3}{2}, o que confirma o resultado acima.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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