Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão está em função da variável
,; - O ponto de interesse é
,.
Objetivo: encontrar o valor numérico (se existir) desse limite quandotende a .
Passo 2
Vamos reescrever a expressão de forma algébrica para simplificar. Usando
, o numerador fica
Portanto a fração inteira é
Passo 3
Simplifico a parte
escrevendo em termos de
:
Assim
Passo 4
Agora uso identidades trigonométricas que facilitam obter limites quando
. As duas identidades úteis são
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 5
Para avaliar o limite, escrevo
de forma a usar o limite clássico
. Faço:
Agora aplico limites conhecidos quando
:
-
(limite trigonométrico fundamental); -
; -
.
Portanto, ao tomar limite em ambos os lados,
Passo 6
Como
, concluímos que o limite original vale
. (Observação útil na prova: com séries de Taylor obteríamos
e
, daí a razão
, consistente com o resultado.)
Resposta
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