Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^2 x}.
Informações dadas:
  • A expressão está em função da variável \,x,;
  • O ponto de interesse é \,x\to 0,.
    Objetivo: encontrar o valor numérico (se existir) desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão de forma algébrica para simplificar. Usando \tan x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}, o numerador fica
\tan x - \operatorname{sen} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} - \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x\!\left(\frac{1}{\cos x}-1\right).
Portanto a fração inteira é
\frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^2 x} = \frac{\operatorname{sen} x\!\left(\dfrac{1}{\cos x}-1\right)}{\operatorname{sen}^2 x} = \left(\frac{1}{\cos x}-1\right)\frac{1}{\operatorname{sen} x}.

Passo 3

Simplifico a parte \dfrac{1}{\cos x}-1 escrevendo em termos de 1-\cos x:
\frac{1}{\cos x}-1=\frac{1-\cos x}{\cos x}.
Assim
\frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^2 x} = \frac{1-\cos x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\operatorname{sen} x} = \frac{1-\cos x}{\cos x\;\operatorname{sen} x}.

Passo 4

Agora uso identidades trigonométricas que facilitam obter limites quando x\to 0. As duas identidades úteis são
1-\cos x = 2\operatorname{sen}^2\!\left(\frac{x}{2}\right) \quad\text{e}\quad \operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo na expressão do passo anterior:
\frac{1-\cos x}{\cos x\;\operatorname{sen} x} = \frac{2\operatorname{sen}^2\!\left(\frac{x}{2}\right)} {\cos x \cdot 2\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)} {\cos x\;\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.

Passo 5

Para avaliar o limite, escrevo \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) de forma a usar o limite clássico \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Faço:
\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)} {\cos x\;\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{x}{2}\cdot \frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{\cos x\;\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Agora aplico limites conhecidos quando x\to 0:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}=1 (limite trigonométrico fundamental);
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos x = 1;
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=1.
    Portanto, ao tomar limite em ambos os lados,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)} {\cos x\;\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{2}\cdot 1 \cdot \frac{1}{1\cdot 1} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{2}.

Passo 6

Como \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{2}=0, concluímos que o limite original vale 0. (Observação útil na prova: com séries de Taylor obteríamos \tan x-\operatorname{sen} x\sim \dfrac{x^3}{2} e \operatorname{sen}^2 x\sim x^2, daí a razão \sim \dfrac{x}{2}\to 0, consistente com o resultado.)

Resposta

0

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