Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que temos:
- A função trigonométrica
é a função seno. - A variável
tende a . - Não há outras condições; trata‑se de um limite clássico que envolve
dividido por uma expressão linear em .
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a identidade limite básica é
Explicando o que isso significa: quando a variável
se aproxima de
, o quociente
se aproxima de
. Aqui
é uma variável qualquer (não precisa ser
); o resultado vale para qualquer caminho que leve
a
.
Passo 3
Breve demonstração (didática) de por que
.
- Para
vale a desigualdade geométrica
- Dividindo tudo por
(positivo nessa faixa) e por conforme conveniente, obtemos
- Agora fazemos
. Sabemos que quando . Pela regra do “squeeze” (teorema do confronto), a quantidade no meio também tende a . Ou seja,
- A função
é par (porque e o denominador também troca de sinal, de modo que o quociente fica igual), logo o limite lateral pela esquerda é o mesmo. Concluímos
Passo 4
Aplicação ao nosso limite: faça a substituição
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão original,
Agora note que
, portanto
Passo 5
Usando a propriedade de linearidade do limite (constante pode sair do limite) e o limite básico do Passo 2:
Passo 6
Conclusão: o valor do limite é
. (Dica rápida para prova: sempre que vir
com
, faça
e obtenha
.)