Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(10 x)}{x},

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen}(10x)}{x}.
Informações relevantes que temos:
  • A função trigonométrica \operatorname{sen} é a função seno.
  • A variável x tende a 0.
  • Não há outras condições; trata‑se de um limite clássico que envolve \operatorname{sen} dividido por uma expressão linear em x.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a identidade limite básica é
\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1.
Explicando o que isso significa: quando a variável u se aproxima de 0, o quociente \dfrac{\operatorname{sen} u}{u} se aproxima de 1. Aqui u é uma variável qualquer (não precisa ser x); o resultado vale para qualquer caminho que leve u a 0.

Passo 3

Breve demonstração (didática) de por que \lim_{u\to0}\dfrac{\operatorname{sen} u}{u}=1.
  • Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\operatorname{sen} u < u < \tan u.
  • Dividindo tudo por \sin u (positivo nessa faixa) e por u conforme conveniente, obtemos
\cos u < \frac{\operatorname{sen} u}{u} < 1.
  • Agora fazemos u\to 0^+. Sabemos que \cos u\to 1 quando u\to 0. Pela regra do “squeeze” (teorema do confronto), a quantidade no meio também tende a 1. Ou seja,
\lim_{u\rightarrow 0^+}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1.
  • A função \dfrac{\operatorname{sen} u}{u} é par (porque \operatorname{sen}(-u)=-\operatorname{sen} u e o denominador também troca de sinal, de modo que o quociente fica igual), logo o limite lateral pela esquerda é o mesmo. Concluímos
\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1.

Passo 4

Aplicação ao nosso limite: faça a substituição
u=10x.
Quando x\rightarrow 0 temos u\rightarrow 0. Reescrevendo a expressão original,
\frac{\operatorname{sen}(10x)}{x}=\frac{\operatorname{sen} u}{x}.
Agora note que x=\dfrac{u}{10}, portanto
\frac{\operatorname{sen}(10x)}{x}=\frac{\operatorname{sen} u}{u/10}=10\cdot\frac{\operatorname{sen} u}{u}.

Passo 5

Usando a propriedade de linearidade do limite (constante pode sair do limite) e o limite básico do Passo 2:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen}(10x)}{x} = \lim_{u\rightarrow 0} 10\cdot\frac{\operatorname{sen} u}{u} =10\cdot\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen} u}{u} =10\cdot 1.

Passo 6

Conclusão: o valor do limite é 10. (Dica rápida para prova: sempre que vir \operatorname{sen}(kx)/x com x\to 0, faça u=kx e obtenha k.)

Resposta

10

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