Determine a derivada da função dada:
f(x)=\operatorname{sen}^{2 / 3} x+\frac{1}{\cos ^{3} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{\tfrac{2}{3}}+\frac{1}{\cos^{3}x}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia (para potências de funções) e as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Para derivar o primeiro termo \bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{\tfrac{2}{3}}, aplicamos a regra da cadeia: se u(x)=\operatorname{sen} x e temos u(x)^{\tfrac{2}{3}}, então
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{\tfrac{2}{3}} =\frac{2}{3}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{\tfrac{2}{3}-1}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x) =\frac{2}{3}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}\cdot\cos x.

Passo 3

Para derivar o segundo termo \cos^{-3}x, também usamos a regra da cadeia: se v(x)=\cos x e temos v(x)^{-3}, então
\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)^{-3} =-3\bigl(\cos x\bigr)^{-4}\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) =-3\bigl(\cos x\bigr)^{-4}\cdot(-\operatorname{sen} x) =3\,\operatorname{sen} x\;\bigl(\cos x\bigr)^{-4}.

Passo 4

Somando os resultados dos dois termos, obtemos
f'(x) =\frac{2}{3}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}\cos x +3\,\operatorname{sen} x\;\bigl(\cos x\bigr)^{-4}.

Resposta

f'(x) =\frac{2}{3}\,\frac{\cos x}{\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{\tfrac{1}{3}}} +\frac{3\,\operatorname{sen} x}{\cos^{4}x}.

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