Calcule os limites.
6:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(k x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{\tan(kx)}{x},
que é um caso clássico de limite envolvendo funções trigonométricas. Vamos usar o resultado padrão de que \lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{u}=1.

Passo 2

Fazemos a substituição u = kx. Quando x \to 0, temos u \to 0. Além disso, x = \tfrac{u}{k}.

Passo 3

Reescrevemos a expressão do limite em função de u:
\frac{\tan(kx)}{x} = \frac{\tan(u)}{\,u/k\,} = k\;\frac{\tan(u)}{u}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite conhecido:
\lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{u}=1.
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\lim_{x\to0}\frac{\tan(kx)}{x} = k\;\lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{u} = k\cdot1 = k.

Resposta

k

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