Calcule os limites.
6:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}.
O conteúdo é cálculo de limites de funções que geram indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, podemos usar a equivalência trigonométrica \operatorname{sen}(x)\sim x quando x\to0 ou a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
quando x\to0, temos x^{2}\to0 e \operatorname{sen}(x)\to0, logo é 0/0. Escolhemos usar a equivalência
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to1 \quad\text{quando }x\to0.

Passo 3

Reescrevemos a expressão de modo a usar essa equivalência:
\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)} = x\;\cdot\;\frac{x}{\operatorname{sen}(x)} = x\;\cdot\;\frac{1}{\displaystyle\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}}.
Como \displaystyle\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to1, então \displaystyle\frac{1}{\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}}\to1. Assim,
\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}\;\longrightarrow\;x\cdot1 = x.

Passo 4

Tomando o limite final,
\lim_{x\to0}x = 0.

Resposta

0

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