Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x},

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma fração cujo numerador envolve duas raízes quadradas com \operatorname{sen}x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • É conhecido (ou será usado) o limite padrão \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia inicial (álgebra elementar que remove raízes): multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. Multiplicando por \dfrac{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}} obtemos:
\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x} = \frac{\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)}{x\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)}.
No numerador temos a diferença de quadrados, que simplifica bem.

Passo 3

Calcule o produto no numerador (diferença de quadrados):
\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}\big)^{2}-\big(\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)^{2} =(1+\operatorname{sen} x)-(1-\operatorname{sen} x)=2\operatorname{sen} x.
Assim a expressão fica
\frac{2\operatorname{sen} x}{x\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)} =2\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}.

Passo 4

Agora vamos analisar os limites das duas partes que aparecem:
  1. A parte \displaystyle\frac{\operatorname{sen} x}{x}. Aqui usamos o limite trigonométrico clássico:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Breve justificativa (squeeze): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale \cos x<\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}<1. Como \lim_{x\to0}\cos x=1, pela regra do aperto (squeeze theorem) segue \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1. O mesmo resultado vale para limites bilaterais (direita e esquerda), pois a função é par no quociente apropriado.
  1. A parte \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}. Como \operatorname{sen} x\to 0 quando x\to 0, temos
\sqrt{1+\operatorname{sen} x}\to 1,\qquad \sqrt{1-\operatorname{sen} x}\to 1,
portanto a soma tende a 2 e a reciprocidade tende a \tfrac{1}{2}:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Juntando os resultados das duas partes e usando que o produto de limites (quando existem) é o limite do produto:
\lim_{x\to 0}2\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}} =2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1.
Portanto o limite pedido é 1.

Resposta

1

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