Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma fração cujo numerador envolve duas raízes quadradas com
. - O ponto de interesse é
. - É conhecido (ou será usado) o limite padrão
.
A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia inicial (álgebra elementar que remove raízes): multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. Multiplicando por
obtemos:
No numerador temos a diferença de quadrados, que simplifica bem.
Passo 3
Calcule o produto no numerador (diferença de quadrados):
Assim a expressão fica
Passo 4
Agora vamos analisar os limites das duas partes que aparecem:
- A parte
. Aqui usamos o limite trigonométrico clássico:
Breve justificativa (squeeze): para
vale
. Como
, pela regra do aperto (squeeze theorem) segue
. O mesmo resultado vale para limites bilaterais (direita e esquerda), pois a função é par no quociente apropriado.
- A parte
. Como quando , temos
portanto a soma tende a
e a reciprocidade tende a
:
Passo 5
Juntando os resultados das duas partes e usando que o produto de limites (quando existem) é o limite do produto:
Portanto o limite pedido é
.