Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}}
onde x_{0} \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to x_{0}}\frac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}},
onde x_{0}\in\mathbb{R}. Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão faz sentido apenas quando \tan x_{0} está definida, isto é, quando \cos x_{0}\neq 0.
  • O objetivo é avaliar o comportamento da diferença de tangentes dividida pela diferença de pontos quando x se aproxima de x_{0}.

Passo 2

Vamos transformar algebricamente a diferença \tan x-\tan x_{0} para obter uma forma que facilite o limite. Começo escrevendo as tangentes como quocientes:
\tan x-\tan x_{0}=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin x_{0}}{\cos x_{0}}.
Colocando em um denominador comum:
\tan x-\tan x_{0}=\frac{\sin x\cos x_{0}-\cos x\sin x_{0}}{\cos x\cos x_{0}}.
Agora uso a identidade trigonométrica \sin a\cos b-\cos a\sin b=\sin(a-b). Aplicando com a=x e b=x_{0} obtenho
\tan x-\tan x_{0}=\frac{\sin(x-x_{0})}{\cos x\cos x_{0}}.

Passo 3

Substituo essa expressão no quociente do limite:
\frac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}}=\frac{\sin(x-x_{0})}{x-x_{0}}\cdot\frac{1}{\cos x\cos x_{0}}.
Esta fatoração é útil porque separa uma parte cujo limite é conhecido ( \dfrac{\sin(x-x_{0})}{x-x_{0}}) de uma parte que envolve cossenos.

Passo 4

Avalio o limite do primeiro fator. Fazendo a mudança de variável t=x-x_{0}, quando x\to x_{0} tem-se t\to 0. O limite clássico é
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Uma justificativa rápida é aplicar a Regra de L’Hôpital: tanto \sin t quanto t tendem a 0 quando t\to 0, assim
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\cos t}{1}=\cos 0=1.

Passo 5

Avalio o limite do segundo fator. Como \cos é contínua onde é finita, quando x\to x_{0} temos \cos x\to\cos x_{0}. Portanto
\lim_{x\to x_{0}}\frac{1}{\cos x\cos x_{0}}=\frac{1}{\cos^{2}x_{0}},
desde que \cos x_{0}\neq 0 (caso contrário a expressão original nem está definida). Multiplicando os limites das duas partes (produto de limites existe porque cada limite existe e é finito) obtemos
\lim_{x\to x_{0}}\frac{\tan x-\tan x_{0}}{x-x_{0}}=1\cdot\frac{1}{\cos^{2}x_{0}}=\frac{1}{\cos^{2}x_{0}}.

Passo 6

Interpretação final e observação prática: o limite que calculamos é exatamente a derivada de \tan x em x_{0}, por isso o resultado também pode ser escrito como \operatorname{sec}^{2}x_{0}. Exemplo numérico rápido para conferir — se x_{0}=0, então \dfrac{1}{\cos^{2}0}=1, que é a derivada de \tan x em 0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x_{0}}=\operatorname{sec}^{2}x_{0}\quad\text{para }\cos x_{0}\neq 0

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