Calcule os limites
onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde
. Informações relevantes do enunciado:
- A expressão faz sentido apenas quando
está definida, isto é, quando . - O objetivo é avaliar o comportamento da diferença de tangentes dividida pela diferença de pontos quando
se aproxima de .
Passo 2
Vamos transformar algebricamente a diferença
para obter uma forma que facilite o limite. Começo escrevendo as tangentes como quocientes:
Colocando em um denominador comum:
Agora uso a identidade trigonométrica
. Aplicando com
e
obtenho
Passo 3
Substituo essa expressão no quociente do limite:
Esta fatoração é útil porque separa uma parte cujo limite é conhecido (
) de uma parte que envolve cossenos.
Passo 4
Avalio o limite do primeiro fator. Fazendo a mudança de variável
, quando
tem-se
. O limite clássico é
Uma justificativa rápida é aplicar a Regra de L’Hôpital: tanto
quanto
tendem a
quando
, assim
Passo 5
Avalio o limite do segundo fator. Como
é contínua onde é finita, quando
temos
. Portanto
desde que
(caso contrário a expressão original nem está definida). Multiplicando os limites das duas partes (produto de limites existe porque cada limite existe e é finito) obtemos
Passo 6
Interpretação final e observação prática: o limite que calculamos é exatamente a derivada de
em
, por isso o resultado também pode ser escrito como
. Exemplo numérico rápido para conferir — se
, então
, que é a derivada de
em
.