A função considerada é x\mapsto x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right), definida para x\neq0 (e podemos estender a definição em 0 por continuação, se o limite existir).
O ponto em que vamos calcular o limite é x\to 0.
A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?
Passo 2
Uma informação útil (verdade básica sobre cosseno) é que para todo número real t vale
-1 \le \cos t \le 1.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{x} (vale para todo x\neq0), obtemos
-1 \le \cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Passo 3
A partir da desigualdade acima podemos obter uma desigualdade para o produto com x. Primeiro note a forma absoluta:
Pelo teorema do confronto (também chamado de teorema do aperto ou squeeze theorem): se uma função h(x) satisfaz para x próximos de 0
-|x| \le h(x) \le |x|
e se \lim_{x\to0}-|x| = \lim_{x\to0}|x| = 0, então \lim_{x\to0} h(x)=0. Aplicando com h(x)=x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right) obtemos
\lim_{x\to 0} x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Passo 6
(Suplementar — prova \varepsilon-\delta, caso você prefira uma demonstração direta.) Seja \varepsilon>0. Como \left|x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\le |x|, basta tomar \delta=\varepsilon. Se |x|<\delta então