Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} x \cos (1 / x),

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações dadas:
  • A função considerada é x\mapsto x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right), definida para x\neq0 (e podemos estender a definição em 0 por continuação, se o limite existir).
  • O ponto em que vamos calcular o limite é x\to 0.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Uma informação útil (verdade básica sobre cosseno) é que para todo número real t vale
-1 \le \cos t \le 1.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{x} (vale para todo x\neq0), obtemos
-1 \le \cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.

Passo 3

A partir da desigualdade acima podemos obter uma desigualdade para o produto com x. Primeiro note a forma absoluta:
\left|\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le 1.
Multiplicando ambos os lados por |x| (que é não negativo) segue
|x|\,\left|\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le |x|.
Mas |x|\,\left|\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| = \left|x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|. Então temos, para todo x\neq0,
\left|x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le |x|.
Isto implica a desigualdade em forma não absoluta
-|x| \le x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|.

Passo 4

Agora avaliamos os limites das funções extremas quando x\to 0. A função valor absoluto é contínua em 0, portanto
\lim_{x\to 0} |x| = 0.
Logo também
\lim_{x\to 0} -|x| = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} |x| = 0.

Passo 5

Pelo teorema do confronto (também chamado de teorema do aperto ou squeeze theorem): se uma função h(x) satisfaz para x próximos de 0
-|x| \le h(x) \le |x|
e se \lim_{x\to0}-|x| = \lim_{x\to0}|x| = 0, então \lim_{x\to0} h(x)=0. Aplicando com h(x)=x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right) obtemos
\lim_{x\to 0} x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 6

(Suplementar — prova \varepsilon- \delta, caso você prefira uma demonstração direta.) Seja \varepsilon>0. Como \left|x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\le |x|, basta tomar \delta=\varepsilon. Se |x|<\delta então
\left|x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)-0\right|=\left|x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le |x|<\delta=\varepsilon,
o que prova que o limite é 0.

Resposta

0

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