Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-4} \frac{\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}+x}{x+4}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • A expressão dada é \dfrac{\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}+x}{x+4}.
  • O ponto para o limite é x \to -4.
  • O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to-4} \dfrac{\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}+x}{x+4}.
  • Informação útil sobre domínio: o radicando deve ser não negativo, ou seja 2\left(x^{2}-8\right)\ge 0, o que implica x^{2}\ge 8 e portanto x\le -2\sqrt{2} ou x\ge 2\sqrt{2}. Note que -4 satisfaz essa condição, logo a expressão está definida em pontos próximos de -4 (em uma vizinhança com x suficientemente perto de -4 e mantendo x\le -2\sqrt{2}).
  • Vamos observar se a substituição direta dá um caso determinado ou uma forma indeterminada antes de escolher a técnica de resolução.

Passo 2

Testar substituição direta para ver se há indeterminação.
  • Denominador em x=-4: x+4 = -4+4 = 0.
  • Numerador em x=-4: \sqrt{2\left((-4)^{2}-8\right)} + (-4) = \sqrt{2(16-8)} -4 = \sqrt{16} -4 = 4 -4 = 0.
Então ao fazer substituição direta obtemos 0/0, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para remover a indeterminação.

Passo 3

Escolher e explicar a técnica a usar (com didática): racionalização pelo conjugado.
  • Quando temos uma raiz numa soma (ou diferença) que produz 0/0, uma técnica básica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (ou do pedaço que causa a raiz). O conjugado de \sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}+x é \sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x.
  • Multiplicar por esse conjugado transforma uma diferença de quadrados no numerador, eliminando a raiz ao calcular (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
  • Essa multiplicação é válida desde que não se multiplique por zero; aqui multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo fator para x\neq -4, e usamos o resultado para estudar o limite (a operação preserva o valor da função em todos os x onde está definida).

Passo 4

Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado e simplificar passo a passo.
Multiplicamos por \dfrac{\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x}{\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x}. Assim:
\frac{\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}+x}{x+4} = \frac{\big(\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}+x\big)\big(\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x\big)}{(x+4)\big(\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x\big)}.
No numerador, aplicando diferença de quadrados:
\big(\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}\big)^{2}-x^{2} = 2\left(x^{2}-8\right)-x^{2} = 2x^{2}-16-x^{2} = x^{2}-16.
Portanto a expressão fica
\frac{x^{2}-16}{(x+4)\big(\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x\big)}.

Passo 5

Fatorar e cancelar o fator comum.
  • Observe que x^{2}-16 pode ser fatorado como (x-4)(x+4).
  • Substituindo:
\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)\big(\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x\big)}.
  • Para x\neq -4 podemos cancelar o fator (x+4), obtendo a expressão simplificada válida em todo ponto da vizinhança exceto em x=-4:
\frac{x-4}{\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x}.
Essa expressão é equivalente à original em todos os pontos onde a original está definida e x\neq -4. Portanto o limite quando x\to -4 da expressão original é igual ao limite dessa expressão simplificada.

Passo 6

Avaliar o limite da expressão simplificada por substituição direta (já que agora não há indeterminação).
Substituindo x=-4 em \dfrac{x-4}{\sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x}:
  • Numerador: x-4 = -4-4 = -8.
  • Denominador: \sqrt{2\left(x^{2}-8\right)}-x = \sqrt{2(16-8)} - (-4) = \sqrt{16} +4 = 4+4 = 8.
Portanto o quociente vale \dfrac{-8}{8} = -1.

Passo 7

Conclusão final e verificação rápida.
  • Obtivemos -1 de maneira consistente e sem indeterminação após a racionalização.
  • Como checagem de consistência: os sinais fazem sentido (numerador próximo de -8, denominador próximo de 8), logo o resultado -1 é plausível.

Resposta

-1

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