Calcule os limites:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- A expressão dada é
. - O ponto para o limite é
. - O enunciado pede calcular
. - Informação útil sobre domínio: o radicando deve ser não negativo, ou seja
, o que implica e portanto ou . Note que satisfaz essa condição, logo a expressão está definida em pontos próximos de (em uma vizinhança com suficientemente perto de e mantendo ). - Vamos observar se a substituição direta dá um caso determinado ou uma forma indeterminada antes de escolher a técnica de resolução.
Passo 2
Testar substituição direta para ver se há indeterminação.
- Denominador em
: . - Numerador em
: .
Então ao fazer substituição direta obtemos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para remover a indeterminação.
Passo 3
Escolher e explicar a técnica a usar (com didática): racionalização pelo conjugado.
- Quando temos uma raiz numa soma (ou diferença) que produz
, uma técnica básica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (ou do pedaço que causa a raiz). O conjugado de é . - Multiplicar por esse conjugado transforma uma diferença de quadrados no numerador, eliminando a raiz ao calcular
. - Essa multiplicação é válida desde que não se multiplique por zero; aqui multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo fator para
, e usamos o resultado para estudar o limite (a operação preserva o valor da função em todos os onde está definida).
Passo 4
Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado e simplificar passo a passo.
Multiplicamos por
. Assim:
No numerador, aplicando diferença de quadrados:
Portanto a expressão fica
Passo 5
Fatorar e cancelar o fator comum.
- Observe que
pode ser fatorado como . - Substituindo:
- Para
podemos cancelar o fator , obtendo a expressão simplificada válida em todo ponto da vizinhança exceto em :
Essa expressão é equivalente à original em todos os pontos onde a original está definida e
. Portanto o limite quando
da expressão original é igual ao limite dessa expressão simplificada.
Passo 6
Avaliar o limite da expressão simplificada por substituição direta (já que agora não há indeterminação).
Substituindo
em
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto o quociente vale
.
Passo 7
Conclusão final e verificação rápida.
- Obtivemos
de maneira consistente e sem indeterminação após a racionalização. - Como checagem de consistência: os sinais fazem sentido (numerador próximo de
, denominador próximo de ), logo o resultado é plausível.