Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+x^{2}-5 x+3}{x^{3}-x^{2}-x+1}

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que nos é dado. O enunciado pede:
Calcular \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^{3}+x^{2}-5x+3}{x^{3}-x^{2}-x+1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão a ser estudada é o quociente de dois polinômios: o numerador \,x^{3}+x^{2}-5x+3 e o denominador \,x^{3}-x^{2}-x+1.
  • O ponto de interesse é x=1.
No próximo passo verifico o tipo de forma que obtemos ao substituir x=1.

Passo 2

Testando diretamente a substituição x=1 para ver se o limite é imediato ou se aparece uma indeterminação.
Avaliar o numerador em x=1:
1^{3}+1^{2}-5\cdot1+3 = 1+1-5+3 = 0
Avaliar o denominador em x=1:
1^{3}-1^{2}-1+1 = 1-1-1+1 = 0
Portanto obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que não podemos apenas substituir: é preciso manipular a expressão (fatorar, simplificar ou usar regras como L’Hôpital). Vou optar por fatoração, que é a abordagem mais direta para polinômios.

Passo 3

Explicando a ideia de fatoração que vou usar: quando uma função racional de polinômios dá 0/0 em x=a, isso significa que ambos os polinômios têm x-a como fator. Podemos fatorar e cancelar fatores comuns, obtendo uma expressão equivalente para x\neq a cuja substituição em a dará o limite.
Começo fatorando o numerador \,x^{3}+x^{2}-5x+3. Como x=1 zera o polinômio, (x-1) é fator. Faço divisão sintética para obter o quociente:
Coeficientes: 1,\;1,\;-5,\;3. Usando 1 na divisão sintética:
\text{sintética: } \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3\\hline & & 1 & 2 & -3\\hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array}é
O resto é 0 (confirmando o fator), e o quociente é x^{2}+2x-3. Então
x^{3}+x^{2}-5x+3 = (x-1)\bigl(x^{2}+2x-3\bigr).
Agora fatoro o polinômio quadrático \,x^{2}+2x-3:
x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1).
Assim o numerador fatorado é
x^{3}+x^{2}-5x+3 = (x-1)(x+3)(x-1) = (x-1)^{2}(x+3).

Passo 4

Agora fatoro o denominador \,x^{3}-x^{2}-x+1. Uma maneira simples é agrupar termos:
Agrupando: \,(x^{3}-x^{2}) - (x-1).
Coloco em evidência:
x^{2}(x-1) - 1(x-1) = (x-1)(x^{2}-1).
Reconheço \,x^{2}-1 como diferença de quadrados:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Logo o denominador fatorado é
x^{3}-x^{2}-x+1 = (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^{2}(x+1).

Passo 5

Substituo as fatorações na fração original:
\frac{x^{3}+x^{2}-5x+3}{x^{3}-x^{2}-x+1} = \frac{(x-1)^{2}(x+3)}{(x-1)^{2}(x+1)}.
Como estamos estudando o limite quando x\to 1, e para x\neq 1 podemos simplificar cancelando o fator comum (x-1)^{2}:
\frac{x^{3}+x^{2}-5x+3}{x^{3}-x^{2}-x+1} = \frac{x+3}{x+1}\quad\text{para }x\neq 1.
Justificação rápida: cancelar fatores que são zero em x=1 é válido porque o limite só depende no comportamento quando x se aproxima de 1, e as duas funções (a original e a simplificada) coincidem para todos os x próximos de 1 com x\neq 1.

Passo 6

Agora que temos a forma simplificada \dfrac{x+3}{x+1}, e essa expressão é contínua em x=1 (denominador não nulo em 1), posso calcular o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 1}\frac{x+3}{x+1} = \frac{1+3}{1+1} = \frac{4}{2} = 2.

Passo 7

Comentário extra (opcional): outra forma de chegar ao mesmo resultado é aplicar a regra de L’Hôpital, porque tínhamos a indeterminação \tfrac{0}{0}. Aplicando L’Hôpital successivamente (duas vezes, já que a primeira derivada ainda dá 0/0) também leva ao mesmo valor final 2. Usei a fatoração porque é mais direta aqui e costuma ser mais rápida em provas sem calculadora.

Resposta

2

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