Calcule os limites:
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e o que nos é dado. O enunciado pede:
Calcular .
Calcular
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão a ser estudada é o quociente de dois polinômios: o numerador
e o denominador . - O ponto de interesse é
.
No próximo passo verifico o tipo de forma que obtemos ao substituir
.
Passo 2
Testando diretamente a substituição
para ver se o limite é imediato ou se aparece uma indeterminação.
Avaliar o numerador em
:
Avaliar o denominador em
:
Portanto obtemos a forma indeterminada
. Isso indica que não podemos apenas substituir: é preciso manipular a expressão (fatorar, simplificar ou usar regras como L’Hôpital). Vou optar por fatoração, que é a abordagem mais direta para polinômios.
Passo 3
Explicando a ideia de fatoração que vou usar: quando uma função racional de polinômios dá
em
, isso significa que ambos os polinômios têm
como fator. Podemos fatorar e cancelar fatores comuns, obtendo uma expressão equivalente para
cuja substituição em
dará o limite.
Começo fatorando o numerador
. Como
zera o polinômio,
é fator. Faço divisão sintética para obter o quociente:
Coeficientes:
. Usando
na divisão sintética:
O resto é
(confirmando o fator), e o quociente é
. Então
Agora fatoro o polinômio quadrático
:
Assim o numerador fatorado é
Passo 4
Agora fatoro o denominador
. Uma maneira simples é agrupar termos:
Agrupando:
.
Coloco em evidência:
Coloco em evidência:
Reconheço
como diferença de quadrados:
Logo o denominador fatorado é
Passo 5
Substituo as fatorações na fração original:
Como estamos estudando o limite quando
, e para
podemos simplificar cancelando o fator comum
:
Justificação rápida: cancelar fatores que são zero em
é válido porque o limite só depende no comportamento quando
se aproxima de
, e as duas funções (a original e a simplificada) coincidem para todos os
próximos de
com
.
Passo 6
Agora que temos a forma simplificada
, e essa expressão é contínua em
(denominador não nulo em
), posso calcular o limite por substituição direta:
Passo 7
Comentário extra (opcional): outra forma de chegar ao mesmo resultado é aplicar a regra de L’Hôpital, porque tínhamos a indeterminação
. Aplicando L’Hôpital successivamente (duas vezes, já que a primeira derivada ainda dá
) também leva ao mesmo valor final
. Usei a fatoração porque é mais direta aqui e costuma ser mais rápida em provas sem calculadora.