Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{2 x^{3}+7 x^{2}+4 x-4}{x^{3}+5 x^{2}+8 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow -2} \frac{2x^{3}+7x^{2}+4x-4}{x^{3}+5x^{2}+8x+1}.
Informações dadas:
  • É um quociente de polinômios: numerador 2x^{3}+7x^{2}+4x-4 e denominador x^{3}+5x^{2}+8x+1.
  • O ponto de interesse é x\to -2.

Passo 2

Estratégia e ideia-chave (o que fazer numa prova):
  • Para funções racionais (quociente de polinômios), se ao substituir x=a o denominador for diferente de zero, a função é contínua em a e vale a substituição direta:
\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}\quad\text{se }Q(a)\neq0.
  • Se a substituição direta produzisse uma forma 0/0 (indeterminação), aí teríamos que fatorar os polinômios para cancelar fatores comuns ou usar L’Hôpital (se for permitido). Sempre comece tentando a substituição direta — isso resolve muitos limites de prova rapidamente.

Passo 3

Calcular o numerador em x=-2 mostrando as contas:
2(-2)^{3}+7(-2)^{2}+4(-2)-4.
Passo a passo:
(-2)^{3}=-8\quad\Rightarrow\quad 2(-8)=-16,
(-2)^{2}=4\quad\Rightarrow\quad 7\cdot4=28,
4(-2)=-8,
juntando:
-16+28-8-4= (-16+28) +(-8-4)=12+(-12)=0.
Portanto o numerador vale 0 quando x=-2.

Passo 4

Calcular o denominador em x=-2 mostrando as contas:
(-2)^{3}+5(-2)^{2}+8(-2)+1.
Passo a passo:
(-2)^{3}=-8,
(-2)^{2}=4\quad\Rightarrow\quad 5\cdot4=20,
8(-2)=-16,
juntando:
-8+20-16+1 = (-8+20)+(-16+1)=12+(-15)=-3.
Portanto o denominador vale -3 quando x=-2, ou seja, diferente de zero.

Passo 5

Conclusão usando o teorema da substituição direta para funções racionais:
  • O numerador em x=-2 é 0 e o denominador em x=-2 é -3\neq0.
  • Logo a função não apresenta indeterminação em x=-2 e o limite é o quociente dos valores substituídos.
(Opcional para entendimento: se fosse necessário fatorar o numerador para ver por que ele é zero em x=-2, tem-se
2x^{3}+7x^{2}+4x-4=(x+2)^{2}(2x-1),
o que mostra que x=-2 é raiz de multiplicidade 2 do numerador; mas como o denominador em -2 é -3, não há cancelamento possível e o limite resulta em 0.)

Resposta

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