Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- É um quociente de polinômios: numerador
e denominador . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Estratégia e ideia-chave (o que fazer numa prova):
- Para funções racionais (quociente de polinômios), se ao substituir
o denominador for diferente de zero, a função é contínua em e vale a substituição direta:
- Se a substituição direta produzisse uma forma
(indeterminação), aí teríamos que fatorar os polinômios para cancelar fatores comuns ou usar L’Hôpital (se for permitido). Sempre comece tentando a substituição direta — isso resolve muitos limites de prova rapidamente.
Passo 3
Calcular o numerador em
mostrando as contas:
Passo a passo:
juntando:
Portanto o numerador vale
quando
.
Passo 4
Calcular o denominador em
mostrando as contas:
Passo a passo:
juntando:
Portanto o denominador vale
quando
, ou seja, diferente de zero.
Passo 5
Conclusão usando o teorema da substituição direta para funções racionais:
- O numerador em
é e o denominador em é . - Logo a função não apresenta indeterminação em
e o limite é o quociente dos valores substituídos.
(Opcional para entendimento: se fosse necessário fatorar o numerador para ver por que ele é zero em
, tem-se
o que mostra que
é raiz de multiplicidade 2 do numerador; mas como o denominador em
é
, não há cancelamento possível e o limite resulta em
.)
Resposta
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