Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{3 x-8}-2}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{3x-8}-2}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}.
Informações dadas e observação inicial: ao substituir x=4 diretamente obtemos
\sqrt{3\cdot4-8}-2=\sqrt{12-8}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0
e
\sqrt{4-2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0.
Portanto a forma é \tfrac{0}{0}, isto é, indeterminada — precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Explicação do método escolhido (racionalização): quando aparece diferença de radicais que gera indeterminação tipo \tfrac{0}{0}, uma técnica eficiente é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de um dos termos (por exemplo, do numerador) para aproveitar a identidade de diferença de quadrados
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Aqui vou racionalizar o numerador multiplicando por \sqrt{3x-8}+2 (ou seja, multiplicar numerador e denominador por esse conjugado), porque isso transforma a diferença de raiz em uma expressão polinomial em x que tende a cancelar com o denominador.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
\frac{\sqrt{3x-8}-2}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3x-8}+2}{\sqrt{3x-8}+2} = \frac{(\sqrt{3x-8}-2)(\sqrt{3x-8}+2)}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{3x-8}+2)}.
Pelo produto da diferença pelo conjugado (diferença de quadrados) o numerador fica
(\sqrt{3x-8})^2-2^2=(3x-8)-4=3x-12=3(x-4).
Logo a expressão é
\frac{3(x-4)}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{3x-8}+2)}.

Passo 4

Agora vamos ligar x-4 com o fator \sqrt{x-2}-\sqrt{2} do denominador: note que
x-4=(x-2)-2=(\sqrt{x-2})^2-(\sqrt{2})^2.
Aplicando novamente a diferença de quadrados temos
x-4=(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}).
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
\frac{3(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{3x-8}+2)}.

Passo 5

Podemos cancelar o fator comum \sqrt{x-2}-\sqrt{2} (válido para x próximos de 4 mas distintos de 4), ficando
\frac{3(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{\sqrt{3x-8}+2}.
Essa expressão já não é indeterminada quando x\to 4, então podemos aplicar a propriedade de continuidade das funções envolvidas (raízes e somas são contínuas em pontos positivos) e tomar o limite por substituição direta.

Passo 6

Fazendo x\to 4 na expressão simplificada:
\sqrt{x-2}\to\sqrt{2}, \qquad \sqrt{3x-8}\to\sqrt{3\cdot4-8}=\sqrt{4}=2.
Portanto o limite vale
\lim_{x\to 4}\frac{3(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{\sqrt{3x-8}+2} = \frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{2})}{2+2} = \frac{3\cdot 2\sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{2}}{4}.
Simplificando a fração obtemos
\frac{6\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{3\sqrt{2}}{2}

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