Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observação inicial: ao substituir
diretamente obtemos
e
Portanto a forma é
, isto é, indeterminada — precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.
Passo 2
Explicação do método escolhido (racionalização): quando aparece diferença de radicais que gera indeterminação tipo
, uma técnica eficiente é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de um dos termos (por exemplo, do numerador) para aproveitar a identidade de diferença de quadrados
Aqui vou racionalizar o numerador multiplicando por
(ou seja, multiplicar numerador e denominador por esse conjugado), porque isso transforma a diferença de raiz em uma expressão polinomial em
que tende a cancelar com o denominador.
Passo 3
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
Pelo produto da diferença pelo conjugado (diferença de quadrados) o numerador fica
Logo a expressão é
Passo 4
Agora vamos ligar
com o fator
do denominador: note que
Aplicando novamente a diferença de quadrados temos
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
Passo 5
Podemos cancelar o fator comum
(válido para
próximos de
mas distintos de
), ficando
Essa expressão já não é indeterminada quando
, então podemos aplicar a propriedade de continuidade das funções envolvidas (raízes e somas são contínuas em pontos positivos) e tomar o limite por substituição direta.
Passo 6
Fazendo
na expressão simplificada:
Portanto o limite vale
Simplificando a fração obtemos