Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: as duas funções que aparecem são
e
. Queremos o valor numérico desse quociente quando
tende a
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
Uma maneira natural para limites do tipo " dividido por
" é aproximar numerador por sua aproximação linear em
(expansão de Taylor de primeira ordem) porque, quando
é pequeno, termos de ordem mais alta em
viram negligenciáveis. Outra forma equivalente é usar derivadas: se
então
Uma maneira natural para limites do tipo "
desde que
e
sejam diferenciáveis em
. Vou mostrar primeiro a aproximação pela série binomial (expansão) e depois confirmar com a ideia da derivada (ambas são bem simples e úteis na prova).
Passo 3
Expansão (fórmula da série binomial para expoentes reais).
A fórmula usada é a expansão em série de binômio para expoentes reais :
A fórmula usada é a expansão em série de binômio para expoentes reais
Aqui
é um número real e
é a variável pequena. Vou aplicar com
e
para
e com
e
para
. Basta reter os dois primeiros termos (constante e termo linear) porque, ao dividir por
e fazer
, os termos de ordem
e superiores não contribuem para o limite.
Passo 4
Calcular explicitamente as duas expansões até a ordem
(para mostrar que o termo constante cancela e ficar com o termo linear).
Para com
:
Para
Para
com
e
:
Passo 5
Subtrair as expansões e dividir por
.
Subtraindo termo a termo:
Subtraindo termo a termo:
O termo constante
cancela. Os termos lineares somam:
Os termos de ordem
ficam
, que são de ordem superior. Então o numerador é
Dividindo por
dá
Agora, tomando o limite quando
, os termos com
desaparecem e sobra
.
Passo 6
Confirmação rápida pela regra da derivada (intuição alternativa).
Defina e
. Ambos satisfazem
. Para funções diferenciáveis,
Defina
Calcule as derivadas:
Então
mesma resposta obtida pela expansão.