Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}.
Informações dadas: as duas funções que aparecem são \sqrt[3]{1+x}=(1+x)^{1/3} e \sqrt{1-x}=(1-x)^{1/2}. Queremos o valor numérico desse quociente quando x tende a 0.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
Uma maneira natural para limites do tipo " \text{algo que tende a }0 dividido por x" é aproximar numerador por sua aproximação linear em x (expansão de Taylor de primeira ordem) porque, quando x é pequeno, termos de ordem mais alta em x viram negligenciáveis. Outra forma equivalente é usar derivadas: se f(0)=g(0) então
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-g(x)}{x}=f'(0)-g'(0),
desde que f e g sejam diferenciáveis em 0. Vou mostrar primeiro a aproximação pela série binomial (expansão) e depois confirmar com a ideia da derivada (ambas são bem simples e úteis na prova).

Passo 3

Expansão (fórmula da série binomial para expoentes reais).
A fórmula usada é a expansão em série de binômio para expoentes reais \alpha:
(1+t)^{\alpha}=1+\alpha t+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}t^{2}+\text{termos de ordem }t^{3}\text{ (e maiores)}.
Aqui \alpha é um número real e t é a variável pequena. Vou aplicar com t=x e \alpha=\tfrac{1}{3} para (1+x)^{1/3} e com t=-x e \alpha=\tfrac{1}{2} para (1-x)^{1/2}. Basta reter os dois primeiros termos (constante e termo linear) porque, ao dividir por x e fazer x\to0, os termos de ordem x^{2} e superiores não contribuem para o limite.

Passo 4

Calcular explicitamente as duas expansões até a ordem x^{2} (para mostrar que o termo constante cancela e ficar com o termo linear).
Para (1+x)^{1/3} com \alpha=\tfrac{1}{3}:
(1+x)^{1/3}=1+\frac{1}{3}x+\frac{\tfrac{1}{3}(\tfrac{1}{3}-1)}{2}x^{2}+\cdots =1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^{2}+\cdots.
Para (1-x)^{1/2} com \alpha=\tfrac{1}{2} e t=-x:
(1-x)^{1/2}=1+\frac{1}{2}(-x)+\frac{\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}-1)}{2}(-x)^{2}+\cdots =1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\cdots.

Passo 5

Subtrair as expansões e dividir por x.
Subtraindo termo a termo:
\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1-x}=\Big(1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^{2}+\cdots\Big)-\Big(1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\cdots\Big).
O termo constante 1-1 cancela. Os termos lineares somam:
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x=\Big(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\Big)x=\frac{5}{6}x.
Os termos de ordem x^{2} ficam -\frac{1}{9}x^{2}+\frac{1}{8}x^{2}=\frac{1}{72}x^{2}, que são de ordem superior. Então o numerador é
\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1-x}=\frac{5}{6}x+\frac{1}{72}x^{2}+\text{termos de ordem }x^{3}.
Dividindo por x
\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\frac{5}{6}+\frac{1}{72}x+\cdots.
Agora, tomando o limite quando x\to 0, os termos com x desaparecem e sobra \tfrac{5}{6}.

Passo 6

Confirmação rápida pela regra da derivada (intuição alternativa).
Defina f(x)=(1+x)^{1/3} e g(x)=(1-x)^{1/2}. Ambos satisfazem f(0)=g(0)=1. Para funções diferenciáveis,
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-g(x)}{x}=f'(0)-g'(0).
Calcule as derivadas:
f'(x)=\frac{1}{3}(1+x)^{-2/3}\quad\Rightarrow\quad f'(0)=\frac{1}{3},
g'(x)=\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\quad\Rightarrow\quad g'(0)=-\frac{1}{2}.
Então
f'(0)-g'(0)=\frac{1}{3}-\big(-\frac{1}{2}\big)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6},
mesma resposta obtida pela expansão.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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