Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{5 x-2}-\sqrt[3]{x+6}}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{5x-2}-\sqrt[3]{x+6}}{x^{2}-4}.
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é \sqrt[3]{5x-2}-\sqrt[3]{x+6}.
  • O denominador é x^{2}-4.
  • Avaliando em x=2 obtém-se
\sqrt[3]{5\cdot2-2}-\sqrt[3]{2+6}= \sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{8}=2-2=0
e
2^{2}-4=4-4=0.
Portanto a forma é indeterminada 0/0. A resolução começará a seguir.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador usando a identidade da diferença de cubos. Defina
a=\sqrt[3]{5x-2},\qquad b=\sqrt[3]{x+6},
de modo que \,a^{3}=5x-2 e \,b^{3}=x+6. A identidade algébrica é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Dessa identidade isolamos a-b:
a-b=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}.
Aplicando isso ao nosso numerador:
\sqrt[3]{5x-2}-\sqrt[3]{x+6}=a-b=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} =\frac{(5x-2)-(x+6)}{a^{2}+ab+b^{2}}.
Calcule o numerador do quociente acima:
(5x-2)-(x+6)=5x-2-x-6=4x-8=4(x-2).
Logo
\sqrt[3]{5x-2}-\sqrt[3]{x+6}=\frac{4(x-2)}{a^{2}+ab+b^{2}}.

Passo 3

Substituímos essa expressão na fração original:
\frac{\sqrt[3]{5x-2}-\sqrt[3]{x+6}}{x^{2}-4} = \frac{\dfrac{4(x-2)}{a^{2}+ab+b^{2}}}{x^{2}-4}.
Note que x^{2}-4=(x-2)(x+2). Portanto, para x\neq2,
\frac{\dfrac{4(x-2)}{a^{2}+ab+b^{2}}}{(x-2)(x+2)} =\frac{4(x-2)}{(a^{2}+ab+b^{2})(x-2)(x+2)} =\frac{4}{(a^{2}+ab+b^{2})(x+2)}.
Cancelamos o fator (x-2) porque estamos tratando do limite quando x\to2 e consideramos x próximos de 2, x\neq2.

Passo 4

Agora podemos tomar o limite substituindo x\to2. Primeiro calcule a e b em x=2:
a=\sqrt[3]{5\cdot2-2}=\sqrt[3]{8}=2,\qquad b=\sqrt[3]{2+6}=\sqrt[3]{8}=2.
Então
a^{2}+ab+b^{2}=2^{2}+2\cdot2+2^{2}=4+4+4=12, \qquad x+2\big|_{x=2}=4.
Substituindo na expressão simplificada:
\lim_{x\to2}\frac{\sqrt[3]{5x-2}-\sqrt[3]{x+6}}{x^{2}-4} =\frac{4}{(a^{2}+ab+b^{2})(x+2)}\Bigg|_{x=2} =\frac{4}{12\cdot 4}=\frac{4}{48}=\frac{1}{12}.

Passo 5

Comentário didático rápido (opcional): outra forma de chegar ao mesmo resultado é aplicar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador. O derivado do numerador é
\frac{5}{3(5x-2)^{2/3}}-\frac{1}{3(x+6)^{2/3}}
que em x=2 vale \dfrac{5-1}{3\cdot 4}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}. O derivado do denominador em x=2 é 2x\big|_{2}=4. Assim o limite seria \dfrac{1/3}{4}=1/12, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{12}

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