Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x^{3}+8}-\sqrt{x^{2}+4}}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite quando x\to 0 da expressão
\frac{\sqrt[3]{x^{3}+8}-\sqrt{x^{2}+4}}{x^{2}}.
  • As informações relevantes são apenas a forma das duas raízes no numerador e o fato de que x tende a 0. Não há outros dados numéricos ocultos.

Passo 2

Escolha do método (sem jargão): como x\to 0 temos quantidades do tipo 8+x^3 e 4+x^2 e estamos dividindo por x^2. O jeito mais direto é expandir cada raiz em torno de x=0 (uma espécie de “Taylor” ou série binomial para pequenas perturbações) até termos termos de ordem x^2 ou menores — assim vemos claramente o termo dominante do numerador ao dividir por x^2. L’Hôpital poderia ser usado, mas daria derivadas longas e repetidas; aqui a expansão é mais simples e segura para fazer sem calculadora.

Passo 3

Fórmula da expansão binomial (explicada de forma simples):
Se a>0 é uma constante e h é pequeno, então para um expoente real p vale aproximadamente
(a+h)^{p}=a^{p}+p\,a^{p-1}h+\frac{p(p-1)}{2}a^{p-2}h^{2}+\text{termos de ordem superior}.
Aqui a é a parte “grande” (por exemplo 8 ou 4), h é a pequena perturbação (por exemplo x^3 ou x^2), e os coeficientes vêm da derivada e da segunda derivada de t\mapsto t^{p} avaliadas em t=a. Nós só precisamos dos primeiros termos porque o denominador é x^{2}; termos de ordem x^{3} ou maiores vão sumir no limite.

Passo 4

Expandir a primeira raiz: \sqrt[3]{x^{3}+8}=(8+x^{3})^{1/3}.
Aplicando a fórmula com a=8, h=x^{3}, p=\tfrac{1}{3}:
8^{1/3}=2,
p\,a^{p-1}h=\tfrac{1}{3}\cdot 8^{-2/3}\cdot x^{3}=\tfrac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\,x^{3}=\frac{x^{3}}{12}.
O próximo termo envolve h^{2}=x^{6}, que é muito menor que x^{2} quando x\to0, então podemos escrever
\sqrt[3]{x^{3}+8}=2+\frac{x^{3}}{12}+o(x^{3}).

Passo 5

Expandir a segunda raiz: \sqrt{x^{2}+4}=(4+x^{2})^{1/2}.
Aplicando a fórmula com a=4, h=x^{2}, p=\tfrac{1}{2}:
4^{1/2}=2,
p\,a^{p-1}h=\tfrac{1}{2}\cdot 4^{-1/2}\cdot x^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\,x^{2}=\frac{x^{2}}{4}.
O próximo termo envolve h^{2}=x^{4}, que é o(x^{2}). Assim
\sqrt{x^{2}+4}=2+\frac{x^{2}}{4}+o(x^{2}).

Passo 6

Subtrair as duas expansões (pegando os termos até a ordem relevante):
\sqrt[3]{x^{3}+8}-\sqrt{x^{2}+4}=\left(2+\frac{x^{3}}{12}+o(x^{3})\right)-\left(2+\frac{x^{2}}{4}+o(x^{2})\right).
As constantes 2 se cancelam, ficando
\sqrt[3]{x^{3}+8}-\sqrt{x^{2}+4}=-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{12}+o(x^{2}).
Observação sobre ordens: o(x^{3}) é também o(x^{2}) (mais pequeno), então o resto global pode ser considerado o(x^{2}).

Passo 7

Dividir pelo denominador x^{2} e tomar o limite:
\frac{\sqrt[3]{x^{3}+8}-\sqrt{x^{2}+4}}{x^{2}} =-\frac{1}{4}+\frac{x}{12}+o(1).
Quando x\to 0, os termos que dependem de x vão para 0, portanto o limite é o coeficiente constante:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x^{3}+8}-\sqrt{x^{2}+4}}{x^{2}}=-\frac{1}{4}.

Resposta

-\dfrac{1}{4}

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