Calcule os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite quando
da expressão
- As informações relevantes são apenas a forma das duas raízes no numerador e o fato de que
tende a . Não há outros dados numéricos ocultos.
Passo 2
Escolha do método (sem jargão): como
temos quantidades do tipo
e
e estamos dividindo por
. O jeito mais direto é expandir cada raiz em torno de
(uma espécie de “Taylor” ou série binomial para pequenas perturbações) até termos termos de ordem
ou menores — assim vemos claramente o termo dominante do numerador ao dividir por
. L’Hôpital poderia ser usado, mas daria derivadas longas e repetidas; aqui a expansão é mais simples e segura para fazer sem calculadora.
Passo 3
Fórmula da expansão binomial (explicada de forma simples):
Se é uma constante e
é pequeno, então para um expoente real
vale aproximadamente
Se
Aqui
é a parte “grande” (por exemplo
ou
),
é a pequena perturbação (por exemplo
ou
), e os coeficientes vêm da derivada e da segunda derivada de
avaliadas em
. Nós só precisamos dos primeiros termos porque o denominador é
; termos de ordem
ou maiores vão sumir no limite.
Passo 4
Expandir a primeira raiz:
.
Aplicando a fórmula com
,
,
:
O próximo termo envolve
, que é muito menor que
quando
, então podemos escrever
Passo 5
Expandir a segunda raiz:
.
Aplicando a fórmula com
,
,
:
O próximo termo envolve
, que é
. Assim
Passo 6
Subtrair as duas expansões (pegando os termos até a ordem relevante):
As constantes
se cancelam, ficando
Observação sobre ordens:
é também
(mais pequeno), então o resto global pode ser considerado
.
Passo 7
Dividir pelo denominador
e tomar o limite:
Quando
, os termos que dependem de
vão para
, portanto o limite é o coeficiente constante: