Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3 x-2}+\sqrt{x}-\sqrt{5 x-1}}{\sqrt{2 x-1}-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x}-\sqrt{5x-1}}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é \sqrt{3x-2}+\sqrt{x}-\sqrt{5x-1}.
  • O denominador é \sqrt{2x-1}-\sqrt{x}.
  • Ao substituir x=1 diretamente, o numerador fica \sqrt{1}+1-\sqrt{4}=1+1-2=0.
  • Ao substituir x=1 diretamente, o denominador fica \sqrt{1}-1=1-1=0.
  • Portanto temos uma forma indeterminada 0/0 e precisamos manipular/usar um teorema para calcular o limite.

Passo 2

Escolha do método: vou usar a Regra de L’Hôpital porque:
  • Temos a forma indeterminada 0/0.
  • Todas as funções envolvidas ( \sqrt{3x-2}, \sqrt{x}, \sqrt{5x-1}, \sqrt{2x-1}) são diferenciáveis num intervalo contendo x=1 (exceto onde as radicandas ficariam negativas, o que não ocorre aqui), então as derivadas existem nas proximidades de 1.
  • Diferenciar raízes quadradas é direto e torna o cálculo rápido e limpo para este problema.
    Vou aplicar L’Hôpital que diz (em palavras): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista.

Passo 3

Regra da cadeia aplicada a raízes (fórmula que vou usar várias vezes):
Se u(x) é diferenciável e f(x)=\sqrt{u(x)}=(u(x))^{1/2}, então
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Explicando: a derivada de u^{1/2} é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u'(x), que é exatamente \tfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}. Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x), e \sqrt{u(x)} é a raiz quadrada da função interna.

Passo 4

Calcular a derivada do numerador termo a termo. Denote o numerador por N(x)=\sqrt{3x-2}+\sqrt{x}-\sqrt{5x-1}.
Usando a fórmula da cadeia:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{3x-2}=\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}, pois aqui u(x)=3x-2 e u'(x)=3.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}, pois u(x)=x e u'(x)=1.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{5x-1}=\frac{5}{2\sqrt{5x-1}}, pois u(x)=5x-1 e u'(x)=5.
Assim
N'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{5}{2\sqrt{5x-1}}.

Passo 5

Calcular a derivada do denominador. Denote o denominador por D(x)=\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}.
Aplicando a mesma regra:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{2x-1}=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}, porque u'(x)=2.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} (já visto).
Portanto
D'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Aplicar L’Hôpital: o limite procurado é igual a
\lim_{x\to 1}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to 1}\frac{N'(x)}{D'(x)}
(se o limite à direita existir). Agora vamos avaliar N'(x) e D'(x) em x=1.

Passo 7

Avaliar as derivadas em x=1 com contas bem detalhadas:
Para N'(1):
\frac{3}{2\sqrt{3\cdot1-2}}+\frac{1}{2\sqrt{1}}-\frac{5}{2\sqrt{5\cdot1-1}} =\frac{3}{2\cdot \sqrt{1}}+\frac{1}{2\cdot 1}-\frac{5}{2\cdot \sqrt{4}}.
Como \sqrt{1}=1 e \sqrt{4}=2, isso fica
N'(1)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{5}{4}.
Colocando denominador comum 4:
N'(1)=\frac{6}{4}+\frac{2}{4}-\frac{5}{4}=\frac{6+2-5}{4}=\frac{3}{4}.
Para D'(1):
\frac{1}{\sqrt{2\cdot1-1}}-\frac{1}{2\sqrt{1}} =\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{2\cdot 1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Agora o limite é simplesmente a razão das derivadas em x=1:
\lim_{x\to 1}\frac{N'(x)}{D'(x)}=\frac{N'(1)}{D'(1)}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{2}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{1}=\frac{3}{2}.
Portanto o limite existe e vale \tfrac{3}{2}. Bom trabalho — mesmo com desespero dá pra cortar esses 0/0 com L’Hôpital quando as derivadas são simples!

Resposta

\dfrac{3}{2}

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