Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador fica . - Ao substituir
diretamente, o denominador fica . - Portanto temos uma forma indeterminada
e precisamos manipular/usar um teorema para calcular o limite.
Passo 2
Escolha do método: vou usar a Regra de L’Hôpital porque:
- Temos a forma indeterminada
. - Todas as funções envolvidas (
, , , ) são diferenciáveis num intervalo contendo (exceto onde as radicandas ficariam negativas, o que não ocorre aqui), então as derivadas existem nas proximidades de . - Diferenciar raízes quadradas é direto e torna o cálculo rápido e limpo para este problema.
Vou aplicar L’Hôpital que diz (em palavras): see e e são diferenciáveis perto de com próximo de , então
desde que o limite à direita exista.
Passo 3
Regra da cadeia aplicada a raízes (fórmula que vou usar várias vezes):
Se é diferenciável e
, então
Se
Explicando: a derivada de
é
, que é exatamente
. Aqui
é a derivada da função interna
, e
é a raiz quadrada da função interna.
Passo 4
Calcular a derivada do numerador termo a termo. Denote o numerador por
.
Usando a fórmula da cadeia:
Usando a fórmula da cadeia:
-
, pois aqui e . -
, pois e . -
, pois e .
Assim
Passo 5
Calcular a derivada do denominador. Denote o denominador por
.
Aplicando a mesma regra:
Aplicando a mesma regra:
-
, porque . -
(já visto).
Portanto
Passo 6
Aplicar L’Hôpital: o limite procurado é igual a
(se o limite à direita existir). Agora vamos avaliar
e
em
.
Passo 7
Avaliar as derivadas em
com contas bem detalhadas:
Para :
Para
Como
e
, isso fica
Colocando denominador comum
:
Para
:
Passo 8
Agora o limite é simplesmente a razão das derivadas em
:
Portanto o limite existe e vale
. Bom trabalho — mesmo com desespero dá pra cortar esses 0/0 com L’Hôpital quando as derivadas são simples!