Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão no numerador é
. - O ponto onde
tende é . - Não há imagens ou dados adicionais.
Passo 2
Primeiro calculemos o valor do numerador em
para ver que tipo de indeterminação temos. Defina
Então
Portanto a forma do limite é
, ou seja, indeterminação do tipo
.
Passo 3
Escolha do método: vou usar a interpretação do limite como quociente diferencial, isto é, reconhecer que
desde que
seja diferenciável em
. Esta escolha é prática e direta porque
é soma/diferença de raízes quadradas de funções lineares, que são diferenciáveis onde o argumento é positivo; no ponto
os argumentos
,
e
são positivos, logo
é diferenciável em
. Alternativa algébrica (racionalizar passo a passo) daria o mesmo resultado mas é muito mais trabalhosa — por isso uso derivadas.
Passo 4
Explicando a ideia usada (definição/teorema) de forma didática:
- A derivada de uma função
em é definida por
- Portanto, quando o limite do enunciado tem a forma acima (com
), ele é exatamente , se for diferenciável em .
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Vou usar a regra da cadeia e a derivada da raiz quadrada. Fatos que vamos usar:
- Se
, então pela regra da cadeia
Aqui
é a derivada da função interna
. Um exemplo simples: se
então
e
Isso é só aplicar a fórmula com calma.
Passo 6
Aplique a regra termo a termo em
.
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
: aqui
tem
, então
Derivada do terceiro termo
: aqui
com
, então
Como o terceiro termo aparece com sinal negativo em
, a derivada total é
Passo 7
Agora avaliamos em
. Primeiro calculamos as raízes necessárias (isto é, estou usando que peguei esses valores diretamente dos radicandos ao substituir
):
Substituindo em
:
Passo 8
Efetuando a soma das frações: o denominador comum conveniente é
.
Logo
Passo 9
Conclusão: como o limite original é exatamente
, temos que
Boa! Você conseguiu chegar no resultado usando a definição de derivada — técnica que economiza muito trabalho nesses limites do tipo
.