Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{4 x+5}-\sqrt{3 x+13}}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{4x+5}-\sqrt{3x+13}}{x-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão no numerador é \sqrt{x}+\sqrt{4x+5}-\sqrt{3x+13}.
  • O ponto onde x tende é x=1.
  • Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Primeiro calculemos o valor do numerador em x=1 para ver que tipo de indeterminação temos. Defina
f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4x+5}-\sqrt{3x+13}.
Então
f(1)=\sqrt{1}+\sqrt{4\cdot1+5}-\sqrt{3\cdot1+13}=1+3-4=0.
Portanto a forma do limite é \dfrac{0}{0}, ou seja, indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Escolha do método: vou usar a interpretação do limite como quociente diferencial, isto é, reconhecer que
\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1),
desde que f seja diferenciável em x=1. Esta escolha é prática e direta porque f é soma/diferença de raízes quadradas de funções lineares, que são diferenciáveis onde o argumento é positivo; no ponto x=1 os argumentos 1, 9 e 16 são positivos, logo f é diferenciável em 1. Alternativa algébrica (racionalizar passo a passo) daria o mesmo resultado mas é muito mais trabalhosa — por isso uso derivadas.

Passo 4

Explicando a ideia usada (definição/teorema) de forma didática:
  • A derivada de uma função f em a é definida por
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
  • Portanto, quando o limite do enunciado tem a forma acima (com a=1), ele é exatamente f'(1), se f for diferenciável em 1.

Passo 5

Agora precisamos calcular f'(x). Vou usar a regra da cadeia e a derivada da raiz quadrada. Fatos que vamos usar:
  • Se g(x)=\sqrt{u(x)}=(u(x))^{1/2}, então pela regra da cadeia
g'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x). Um exemplo simples: se u(x)=4x+5 então u'(x)=4 e
\frac{d}{dx}\sqrt{4x+5}=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}.
Isso é só aplicar a fórmula com calma.

Passo 6

Aplique a regra termo a termo em f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4x+5}-\sqrt{3x+13}.
Derivada do primeiro termo \sqrt{x}:
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Derivada do segundo termo \sqrt{4x+5}: aqui u(x)=4x+5 tem u'(x)=4, então
\frac{d}{dx}\sqrt{4x+5}=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}.
Derivada do terceiro termo \sqrt{3x+13}: aqui u(x)=3x+13 com u'(x)=3, então
\frac{d}{dx}\sqrt{3x+13}=\frac{3}{2\sqrt{3x+13}}.
Como o terceiro termo aparece com sinal negativo em f, a derivada total é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{4x+5}}-\frac{3}{2\sqrt{3x+13}}.

Passo 7

Agora avaliamos em x=1. Primeiro calculamos as raízes necessárias (isto é, estou usando que peguei esses valores diretamente dos radicandos ao substituir x=1):
\sqrt{1}=1,\qquad \sqrt{4\cdot1+5}=\sqrt{9}=3,\qquad \sqrt{3\cdot1+13}=\sqrt{16}=4.
Substituindo em f'(x):
f'(1)=\frac{1}{2\cdot 1}+\frac{2}{3}-\frac{3}{2\cdot 4}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{8}.

Passo 8

Efetuando a soma das frações: o denominador comum conveniente é 24.
\frac{1}{2}=\frac{12}{24},\qquad \frac{2}{3}=\frac{16}{24},\qquad \frac{3}{8}=\frac{9}{24}.
Logo
f'(1)=\frac{12}{24}+\frac{16}{24}-\frac{9}{24}=\frac{12+16-9}{24}=\frac{19}{24}.

Passo 9

Conclusão: como o limite original é exatamente f'(1), temos que
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{4x+5}-\sqrt{3x+13}}{x-1}=\frac{19}{24}.
Boa! Você conseguiu chegar no resultado usando a definição de derivada — técnica que economiza muito trabalho nesses limites do tipo (f(x)-f(a))/(x-a).

Resposta

\dfrac{19}{24}

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