Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x^{4}+2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x se aproxima de 1 da função racional
\frac{x^{3}-1}{x^{4}+2x-3}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para 1.
  • O numerador é x^{3}-1.
  • O denominador é x^{4}+2x-3.
    A pergunta única é: qual é o valor de \lim_{x\to1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{4}+2x-3}?

Passo 2

Primeira tentativa: testar substituição direta. Calcular numerador e denominador em x=1:
x^{3}-1\Big|_{x=1}=1^{3}-1=0, \qquad x^{4}+2x-3\Big|_{x=1}=1^{4}+2\cdot1-3=1+2-3=0.
Como obtivemos 0/0, a forma é indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma técnica básica para esses casos é fatorar termos comuns. Lembre-se da identidade da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Aqui basta tomar a=x e b=1. Aplicando ao numerador:
x^{3}-1=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).

Passo 4

Agora fatorar o denominador procurando também um fator (x-1). Como x=1 zera o polinômio, (x-1) é fator; faz-se divisão polinomial por (x-1). Usando divisão sintética com o zero 1 sobre os coeficientes de x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+2x-3:
  • Coeficientes: 1,\;0,\;0,\;2,\;-3.
  • Trazer 1; multiplicar por 1 e somar sucessivamente obtém-se quociente com coeficientes 1,\;1,\;1,\;3 e resto 0.
Logo
x^{4}+2x-3=(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+3\bigr).

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original e simplificando (válido para x\neq1):
\frac{x^{3}-1}{x^{4}+2x-3} = \frac{(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}{(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+3\bigr)} = \frac{x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}+x+3}.
Agora a expressão simplificada não apresenta mais a indeterminação para x próximo de 1 (exceto no próprio ponto, mas para limite isso basta).

Passo 6

Usar continuidade: as funções polinomiais são contínuas, e o quociente de polinômios é contínuo em pontos onde o denominador não é zero. Avaliando a expressão simplificada em x=1:
x^{2}+x+1\Big|_{x=1}=1+1+1=3, \qquad x^{3}+x^{2}+x+3\Big|_{x=1}=1+1+1+3=6.
O denominador é 6\neq0, logo é permitido substituir x=1 no limite. Assim o limite é
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Comentário adicional (opcional): também seria possível usar a Regra de L’Hôpital porque tínhamos a forma 0/0. Derivando numerador e denominador:
\text{num}'(x)=3x^{2},\qquad \text{den}'(x)=4x^{3}+2,
avaliando em x=1 3/(4+2)=3/6=1/2, mesmo resultado. Escolhi a fatoração porque é um método algébrico simples e elementar, que costuma ser mais rápido em provas sem calculadora.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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