Como obtivemos 0/0, a forma é indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma técnica básica para esses casos é fatorar termos comuns. Lembre-se da identidade da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Aqui basta tomar a=x e b=1. Aplicando ao numerador:
x^{3}-1=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
Passo 4
Agora fatorar o denominador procurando também um fator (x-1). Como x=1 zera o polinômio, (x-1) é fator; faz-se divisão polinomial por (x-1). Usando divisão sintética com o zero 1 sobre os coeficientes de x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+2x-3:
Coeficientes: 1,\;0,\;0,\;2,\;-3.
Trazer 1; multiplicar por 1 e somar sucessivamente obtém-se quociente com coeficientes 1,\;1,\;1,\;3 e resto 0.
Logo
x^{4}+2x-3=(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+3\bigr).
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original e simplificando (válido para x\neq1):
Agora a expressão simplificada não apresenta mais a indeterminação para x próximo de 1 (exceto no próprio ponto, mas para limite isso basta).
Passo 6
Usar continuidade: as funções polinomiais são contínuas, e o quociente de polinômios é contínuo em pontos onde o denominador não é zero. Avaliando a expressão simplificada em x=1:
avaliando em x=1 dá 3/(4+2)=3/6=1/2, mesmo resultado. Escolhi a fatoração porque é um método algébrico simples e elementar, que costuma ser mais rápido em provas sem calculadora.