Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede determinar o valor do limite
Informações fornecidas e relevantes:
- A função analisada é
. - O ponto de interesse é
. - Observação sobre domínio:
está definida para . Em particular, a vizinhança de está dentro do domínio (pois ).
O que se pede: determinar se o limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática). Quando uma função é combinação (soma/subtração/ produto/ quociente com denominador não nulo) de funções contínuas em um ponto, ela é contínua nesse ponto e o limite é obtido substituindo o ponto na expressão. Aqui:
- A função
é contínua em qualquer . - A constante
é contínua em todo lugar. - A diferença de funções contínuas é contínua.
Portantoé contínua em , e é permitido calcular o limite simplesmente avaliando . Vou também mostrar um cálculo algébrico para quem prefere ver a conta.
Passo 3
Fazer a simplificação algébrica para deixar a expressão num único quociente (isso ajuda a ver o que acontece com numerador e denominador):
Passo 4
Avaliar o limite da forma simplificada. Como o denominador
tende para
quando
, podemos substituir diretamente:
Então o limite existe e vale
.
Passo 5
Demonstração alternativa (controle por incremento), útil em prova quando quiser manipular o diferencial: coloque
com
. Então
Como
o numerador tende a
e o denominador tende a
, logo a fração tende a
. Mesmo resultado, reforçando que o limite é
.
Passo 6
Resumo prático para a prova: ao ver
com
, pode substituir diretamente (continuidade) ou combinar em um único quociente e verificar que o numerador se anula em
enquanto o denominador não; em ambos os casos o limite será
. Vai dar certo — confia!