Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede determinar o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right).
Informações fornecidas e relevantes:
  • A função analisada é f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.
  • O ponto de interesse é x\to2.
  • Observação sobre domínio: f(x) está definida para x\neq0. Em particular, a vizinhança de x=2 está dentro do domínio (pois 2\neq0).
    O que se pede: determinar se o limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática). Quando uma função é combinação (soma/subtração/ produto/ quociente com denominador não nulo) de funções contínuas em um ponto, ela é contínua nesse ponto e o limite é obtido substituindo o ponto na expressão. Aqui:
  • A função x\mapsto\frac{1}{x} é contínua em qualquer x\neq0.
  • A constante x\mapsto\frac{1}{2} é contínua em todo lugar.
  • A diferença de funções contínuas é contínua.
    Portanto f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2} é contínua em x=2, e é permitido calcular o limite simplesmente avaliando f(2). Vou também mostrar um cálculo algébrico para quem prefere ver a conta.

Passo 3

Fazer a simplificação algébrica para deixar a expressão num único quociente (isso ajuda a ver o que acontece com numerador e denominador):
\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2}{2x}-\frac{x}{2x}=\frac{2-x}{2x}.

Passo 4

Avaliar o limite da forma simplificada. Como o denominador 2x tende para 2\cdot 2=4\neq0 quando x\to2, podemos substituir diretamente:
\lim_{x\to2}\frac{2-x}{2x}=\frac{2-2}{2\cdot 2}=\frac{0}{4}=0.
Então o limite existe e vale 0.

Passo 5

Demonstração alternativa (controle por incremento), útil em prova quando quiser manipular o diferencial: coloque x=2+h com h\to0. Então
\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=-\frac{h}{2(2+h)}.
Como h\to0 o numerador tende a 0 e o denominador tende a 4, logo a fração tende a 0. Mesmo resultado, reforçando que o limite é 0.

Passo 6

Resumo prático para a prova: ao ver \lim_{x\to a}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right) com a\neq0, pode substituir diretamente (continuidade) ou combinar em um único quociente e verificar que o numerador se anula em x=a enquanto o denominador não; em ambos os casos o limite será 0. Vai dar certo — confia!

Resposta

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