Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: calcular, se existir, o limite
Informações que o enunciado dá:
- A função cuja limite se busca é
. - O ponto de aproximação é
.
Observação imediata (sem resolver ainda): ao substituir
temos numerador
e denominador
. Logo a forma obtida é
, que é uma indeterminação — isso indica que é preciso manipular a expressão para conseguir o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vou eliminar a indeterminação usando uma técnica algébrica clássica chamada racionalização. A ideia da racionalização é eliminar raízes do numerador ou do denominador multiplicando por um conjugado (soma <-> diferença) para usar a identidade de diferença de quadrados
Aqui o denominador é
. O conjugado desse denominador é
. Multiplico numerador e denominador por esse conjugado — isso não altera o valor da expressão (multiplica-se por
), mas transforma o denominador em uma diferença de quadrados, ficando sem raiz na subtração.
Passo 3
Aplicando a multiplicação por conjugado:
Agora calculo o produto no denominador usando diferença de quadrados:
Portanto a expressão fica
Passo 4
Continuo a simplificação observando que
pode ser fatorado usando a identidade
com
e
:
Substituindo essa fatoração no denominador:
Desde que
(região onde a expressão original está definida para o limite), podemos cancelar o fator comum
, obtendo a forma simplificada
Passo 5
Agora que a expressão simplificada não apresenta mais a indeterminação, posso usar a continuidade das funções raiz e soma/razão para avaliar o limite por substituição direta. Explico rapidamente: funções do tipo
são contínuas em seus domínios, e combinações (soma, divisão por função não nula) também são contínuas. Então o limite quando
da expressão simplificada é o valor da expressão em
.
Substituindo
em
obtemos no numerador
e no denominador
. Portanto
Passo 6
Simplificação final dos radicais:
. Assim
Portanto o limite existe e vale
.