Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+4}-\sqrt{8}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+4}-\sqrt{8}}.
Informações que o enunciado dá:
  • A função cuja limite se busca é f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+4}-\sqrt{8}}.
  • O ponto de aproximação é x\to 4.
Observação imediata (sem resolver ainda): ao substituir x=4 temos numerador \sqrt{4}-2=0 e denominador \sqrt{8}-\sqrt{8}=0. Logo a forma obtida é 0/0, que é uma indeterminação — isso indica que é preciso manipular a expressão para conseguir o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vou eliminar a indeterminação usando uma técnica algébrica clássica chamada racionalização. A ideia da racionalização é eliminar raízes do numerador ou do denominador multiplicando por um conjugado (soma <-> diferença) para usar a identidade de diferença de quadrados
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Aqui o denominador é \sqrt{x+4}-\sqrt{8}. O conjugado desse denominador é \sqrt{x+4}+\sqrt{8}. Multiplico numerador e denominador por esse conjugado — isso não altera o valor da expressão (multiplica-se por 1), mas transforma o denominador em uma diferença de quadrados, ficando sem raiz na subtração.

Passo 3

Aplicando a multiplicação por conjugado:
\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+4}-\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+4}-\sqrt{8}}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{8}}{\sqrt{x+4}+\sqrt{8}}.
Agora calculo o produto no denominador usando diferença de quadrados:
(\sqrt{x+4}-\sqrt{8})(\sqrt{x+4}+\sqrt{8}) = ( \sqrt{x+4} )^2 - ( \sqrt{8} )^2 = (x+4) - 8 = x-4.
Portanto a expressão fica
\frac{(\sqrt{x}-2)\big(\sqrt{x+4}+\sqrt{8}\big)}{x-4}.

Passo 4

Continuo a simplificação observando que x-4 pode ser fatorado usando a identidade a^2-b^2=(a-b)(a+b) com a=\sqrt{x} e b=2:
x-4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).
Substituindo essa fatoração no denominador:
\frac{(\sqrt{x}-2)\big(\sqrt{x+4}+\sqrt{8}\big)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}.
Desde que x\neq 4 (região onde a expressão original está definida para o limite), podemos cancelar o fator comum \sqrt{x}-2, obtendo a forma simplificada
\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{8}}{\sqrt{x}+2}.

Passo 5

Agora que a expressão simplificada não apresenta mais a indeterminação, posso usar a continuidade das funções raiz e soma/razão para avaliar o limite por substituição direta. Explico rapidamente: funções do tipo x\mapsto\sqrt{x} são contínuas em seus domínios, e combinações (soma, divisão por função não nula) também são contínuas. Então o limite quando x\to 4 da expressão simplificada é o valor da expressão em x=4.
Substituindo x=4 em
\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{8}}{\sqrt{x}+2}
obtemos no numerador \sqrt{4+4}+\sqrt{8}=\sqrt{8}+\sqrt{8}=2\sqrt{8} e no denominador \sqrt{4}+2=2+2=4. Portanto
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{8}}{\sqrt{x}+2}=\frac{2\sqrt{8}}{4}.

Passo 6

Simplificação final dos radicais: \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}. Assim
\frac{2\sqrt{8}}{4}=\frac{2\cdot 2\sqrt{2}}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}.
Portanto o limite existe e vale \sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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