Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2}}{\operatorname{sen} 3 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to 0}\frac{2x^{2}}{\operatorname{sen}3x}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre 2x^{2} e \operatorname{sen}3x, e o ponto de aproximação é x\to 0. Não há outros dados extras.

Passo 2

Fato padrão que vou usar (expliquei porque ele vale): vale
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Justificativa curta e clássica (teorema do aperto / desigualdades trigonométricas): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} tem \sin t<t<\tan t. Dividindo por \,t\sin t obtém-se \cos t<\dfrac{\sin t}{t}<1. Fazendo t\to0^+ vem \cos t\to1, então por aperto \dfrac{\sin t}{t}\to1. Esse limite vale também para t\to0 em geral (simetria ímpar de \sin). Do mesmo fato segue imediatamente
\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=1.

Passo 3

Faço a substituição u=3x. Quando x\to0 temos u\to0. Reescrevo a expressão em u:
\frac{2x^{2}}{\sin 3x} = \frac{2\bigl(\tfrac{u}{3}\bigr)^{2}}{\sin u} = \frac{2u^{2}}{9\sin u} = \frac{2}{9}\cdot\frac{u^{2}}{\sin u}.

Passo 4

Manipulo \dfrac{u^{2}}{\sin u} para usar o limite da Passo 2:
\frac{u^{2}}{\sin u}=u\cdot\frac{u}{\sin u}.
Pelo Passo 2 tem \dfrac{u}{\sin u}\to1 quando u\to0. Além disso u\to0. Portanto o produto u\cdot\dfrac{u}{\sin u}\to 0\cdot 1 = 0. Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{9} temos que a expressão original tende a \dfrac{2}{9}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Dica rápida para prova: usar a aproximação \sin(3x)\sim 3x quando x é pequeno, então \dfrac{2x^{2}}{\sin 3x}\sim \dfrac{2x^{2}}{3x}=\dfrac{2}{3}x\to 0. Isso é a mesma ideia do limite \sin t/t\to1.

Resposta

0

Exercícios relacionados