Calcule os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
Informações dadas: a expressão é a razão entre
e
, e o ponto de aproximação é
. Não há outros dados extras.
Passo 2
Fato padrão que vou usar (expliquei porque ele vale): vale
Justificativa curta e clássica (teorema do aperto / desigualdades trigonométricas): para
tem
. Dividindo por
obtém-se
. Fazendo
vem
, então por aperto
. Esse limite vale também para
em geral (simetria ímpar de
). Do mesmo fato segue imediatamente
Passo 3
Faço a substituição
. Quando
temos
. Reescrevo a expressão em
:
Passo 4
Manipulo
para usar o limite da Passo 2:
Pelo Passo 2 tem
quando
. Além disso
. Portanto o produto
. Multiplicando pelo fator
temos que a expressão original tende a
.
Passo 5
Dica rápida para prova: usar a aproximação
quando
é pequeno, então
. Isso é a mesma ideia do limite
.