Sejam \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) sequências de números reais e, para cada n \in \mathbb{N}, seja t_{n} \in[0,1] um real fixado (isto é, t_{n} é uma sequência no intervalo [0,1] ). Denote por \left(c_{n}\right) a sequência definida por
c_{n}=\left(1-t_{n}\right) a_{n}+t_{n} b_{n}
para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que se a_{n}, b_{n} \rightarrow c, mostre que c_{n} \rightarrow c

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • Existem sequências reais \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right).
  • Existe uma sequência de pesos \left(t_{n}\right) com t_{n}\in[0,1] para todo n.
  • Define-se a sequência \left(c_{n}\right) por
c_{n}=\left(1-t_{n}\right)a_{n}+t_{n}b_{n}\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
  • Sabemos que \;a_{n}\to c\; e \;b_{n}\to c\; para algum número real c.
O que o problema pede:
  • Mostrar que \;c_{n}\to c\;. Ou seja, provar que a sequência c_{n} converge para o mesmo limite c.

Passo 2

Recordando a definição de convergência (a ferramenta que vamos usar): dizer que \;a_{n}\to c\; significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N_1\in\mathbb{N}\text{ tal que, se }n\ge N_1,\text{ então }|a_{n}-c|<\varepsilon.ã
Analogamente, \;b_{n}\to c\; significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N_2\in\mathbb{N}\text{ tal que, se }n\ge N_2,\text{ então }|b_{n}-c|<\varepsilon.ã
Nosso objetivo é provar a mesma propriedade para c_{n}: dado \varepsilon>0 encontrar N tal que, se n\ge N, então |c_{n}-c|<\varepsilon.

Passo 3

Vamos manipular c_{n}-c para escrever em termos de a_{n}-c e b_{n}-c. Usando a definição de c_{n},
c_{n}-c=\bigl(1-t_{n}\bigr)a_{n}+t_{n}b_{n}-c.
Agrupando com c como combinação convexa (note que 1-t_{n}+t_{n}=1):
c_{n}-c=\bigl(1-t_{n}\bigr)(a_{n}-c)+t_{n}(b_{n}-c).

Passo 4

Agora aplicamos desigualdade triangular e as propriedades dos pesos t_{n}\in[0,1]. Tomando valor absoluto em ambos os lados:
|c_{n}-c|=\bigl|\bigl(1-t_{n}\bigr)(a_{n}-c)+t_{n}(b_{n}-c)\bigr|
pela desigualdade triangular e pelo fato de \,1-t_{n}\ge0 e t_{n}\ge0, obtemos
|c_{n}-c|\le \bigl(1-t_{n}\bigr)\,|a_{n}-c|+t_{n}\,|b_{n}-c|.
(Explicação rápida: a desigualdade triangular diz que |x+y|\le|x|+|y|. Aqui x=(1-t_n)(a_n-c) e y=t_n(b_n-c); como multiplicar por um número não negativo preserva o módulo, o resultado acima vale.)

Passo 5

Agora usemos a convergência de \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right). Fixe um \varepsilon>0. Como a_{n}\to c, existe N_1 tal que, se n\ge N_1, então
|a_{n}-c|<\varepsilon.
Como b_{n}\to c, existe N_2 tal que, se n\ge N_2, então
|b_{n}-c|<\varepsilon.
Escolha N=\max\{N_1,N_2\}. Então, para todo n\ge N temos simultaneamente |a_{n}-c|<\varepsilon e |b_{n}-c|<\varepsilon. Substituindo essas desigualdades na estimativa do Passo 4:
|c_{n}-c|\le \bigl(1-t_{n}\bigr)\varepsilon+t_{n}\varepsilon=\bigl( (1-t_{n})+t_{n}\bigr)\varepsilon=\varepsilon.
Portanto, para todo n\ge N vale |c_{n}-c|<\varepsilon.

Passo 6

Interpretando o que obtivemos: dado qualquer \varepsilon>0 encontramos N (independente de n, que só depende de \varepsilon) tal que, se n\ge N, então |c_{n}-c|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \;c_{n}\to c\;. Assim concluímos que a sequência \left(c_{n}\right) converge para c.

Resposta

\;c_{n}\to c\;

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