Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Queremos o comportamento quando
.
Passo 2
Método escolhido: dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui
). Por que esse método? Porque para polinômios, os termos com maior grau dominam o comportamento quando
. Dividindo por
transformamos todos os termos em potências negativas de
que tendem a zero, ficando explícito o valor do limite. Este método é mais direto que aplicar regra de L’Hôpital e é o recomendado para polinômios.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Passo 4
Simplificando as potências dá
Agora use o fato básico: para qualquer
vale
Isto porque
quando
, logo o recíproco tende a zero. Assim cada termo do tipo
(com
) tende a
.
Passo 5
Aplicando esse fato termo a termo:
-
, -
, -
, -
, -
, -
.
Portanto o numerador da expressão simplificada tende a
e o denominador tende a
. Como o denominador tende a um número diferente de zero, o limite da razão é
Observação rápida (regra prática): quando o grau do numerador (aqui
) é menor que o grau do denominador (aqui
), o limite quando
é
. Isso poupa cálculos em muitos exercícios.