Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{5}+2 x^{3}-3 x+1}{2 x^{6}-3 x^{3}+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{5}+2 x^{3}-3 x+1}{2 x^{6}-3 x^{3}+4}.
Informações dadas:
  • Numerador: 4x^{5}+2x^{3}-3x+1.
  • Denominador: 2x^{6}-3x^{3}+4.
  • Queremos o comportamento quando x \to \infty.

Passo 2

Método escolhido: dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui x^{6}). Por que esse método? Porque para polinômios, os termos com maior grau dominam o comportamento quando x\to\infty. Dividindo por x^{6} transformamos todos os termos em potências negativas de x que tendem a zero, ficando explícito o valor do limite. Este método é mais direto que aplicar regra de L’Hôpital e é o recomendado para polinômios.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{6} obtemos
\frac{4 x^{5}+2 x^{3}-3 x+1}{2 x^{6}-3 x^{3}+4} = \frac{\dfrac{4 x^{5}}{x^{6}}+\dfrac{2 x^{3}}{x^{6}}+\dfrac{-3 x}{x^{6}}+\dfrac{1}{x^{6}}} {\dfrac{2 x^{6}}{x^{6}}+\dfrac{-3 x^{3}}{x^{6}}+\dfrac{4}{x^{6}}}.

Passo 4

Simplificando as potências dá
\frac{4/x + 2/x^{3} - 3/x^{5} + 1/x^{6}}{2 - 3/x^{3} + 4/x^{6}}.
Agora use o fato básico: para qualquer k>0 vale
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Isto porque x^{k}\to\infty quando x\to\infty, logo o recíproco tende a zero. Assim cada termo do tipo 1/x^{k} (com k>0) tende a 0.

Passo 5

Aplicando esse fato termo a termo:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4}{x}=0,
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{3}}=0,
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3}{x^{5}}=0,
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{6}}=0,
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3}{x^{3}}=0,
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4}{x^{6}}=0.
Portanto o numerador da expressão simplificada tende a 0 e o denominador tende a 2. Como o denominador tende a um número diferente de zero, o limite da razão é
\frac{0}{2}=0.
Observação rápida (regra prática): quando o grau do numerador (aqui 5) é menor que o grau do denominador (aqui 6), o limite quando x\to\infty é 0. Isso poupa cálculos em muitos exercícios.

Resposta

0

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