Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{6}-1}{\sqrt{x+3}-2}

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{6}-1}{\sqrt{x+3}-2}.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão a ser limitada é \dfrac{x^{6}-1}{\sqrt{x+3}-2}.
  • O ponto de interesse é x\to1.

Passo 2

Testar substituição direta e reconhecer a forma indeterminada.
Fazendo x=1 diretamente:
x^{6}-1\Big|_{x=1}=1^{6}-1=0, \qquad \sqrt{x+3}-2\Big|_{x=1}=\sqrt{1+3}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0.
Portanto a substituição direta dá a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 3

Ideia de resolução: racionalizar o denominador usando o conjugado.
Explicação do conceito: quando o denominador tem uma raiz do tipo \sqrt{\cdot}-2, uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{\cdot}+2. Isso elimina a raiz no denominador porque (\sqrt{A}-2)(\sqrt{A}+2)=A-4.
Aplicando aqui, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+3}+2:
\frac{x^{6}-1}{\sqrt{x+3}-2} = \frac{(x^{6}-1)\big(\sqrt{x+3}+2\big)}{\big(\sqrt{x+3}-2\big)\big(\sqrt{x+3}+2\big)}.
No denominador ocorre a diferença de quadrados:
\big(\sqrt{x+3}-2\big)\big(\sqrt{x+3}+2\big)=x+3-4=x-1.
Então a expressão fica
\frac{(x^{6}-1)\big(\sqrt{x+3}+2\big)}{x-1}.

Passo 4

Fatorar o numerador usando a identidade para diferença de potências.
A identidade geral é: para a e b,
a^{n}-b^{n}=(a-b)\big(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\big).
Aqui usaremos a=x, b=1 e n=6. Assim
x^{6}-1=(x-1)\big(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\big).
Denotando
Q(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,
temos x^{6}-1=(x-1)Q(x).

Passo 5

Cancelar o fator comum e obter expressão que permite substituição direta.
Substituindo a fatoração na expressão obtida no Passo 3:
\frac{(x^{6}-1)\big(\sqrt{x+3}+2\big)}{x-1} = \frac{(x-1)Q(x)\big(\sqrt{x+3}+2\big)}{x-1}.
Como x\neq1 na vizinhança (exceto no ponto limite), podemos cancelar o fator (x-1), obtendo a expressão simplificada
Q(x)\big(\sqrt{x+3}+2\big).
Essa nova função é contínua em x=1, então podemos avaliar o limite por substituição direta.

Passo 6

Calcular os valores em x=1 e concluir o limite.
Calcular Q(1):
Q(1)=1^{5}+1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1=1+1+1+1+1+1=6.
Calcular \sqrt{x+3}+2 em x=1:
\sqrt{1+3}+2=\sqrt{4}+2=2+2=4.
Multiplicando,
\lim_{x\to1} Q(x)\big(\sqrt{x+3}+2\big)=Q(1)\cdot 4=6\cdot4=24.

Resposta

24

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