Esboce o gráfico de uma função real que satisfaz as condições:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações dadas (cada item foi retirado do enunciado).
- O que pedir: esboçar o gráfico de uma função real
que satisfaça as condições a seguir. - Condições:
(a).
(b).
(c).
(d).
(e).
(f). - Objetivo prático: apresentar uma função explícita cujo gráfico tenha os comportamentos pedidos (vertical asymptotes em
e com os sinais indicados, valor em igual a , e assíntota horizontal em infinito).
Passo 2
Ideia geral do tipo de função que vamos usar (explicação e motivação didática, sem pular etapas).
- Funções racionais (razão de polinômios) são ótimas para criar assíntotas verticais: zeros do denominador (quando não cancelados) geram crescimento para
. - A multiplicidade do fator no denominador controla o sinal das infinitudes nas duas faces:
- se um fator
aparece com multiplicidade ímpar (por exemplo primeira potência), então a fração muda de sinal ao atravessar : limites laterais têm sinais opostos (um , o outro ); - se a multiplicidade é par (por exemplo
), a fração tende ao mesmo sinal de em ambos os lados de .
- se um fator
- Para ter assíntota horizontal
quando , uma estratégia simples é construir com . Assim e . - Resumo do plano: escolher
com fatores que provoquem assíntotas em e com as multiplicidades apropriadas; escolher (pode ser constante) de modo que ; e garantir .
Passo 3
Escolhendo os fatores do denominador para produzir os comportamentos em
e
.
- Queremos que em
os dois lados dêem . Isso exige multiplicidade par do fator no denominador, por exemplo . - Queremos que em
os lados dêem pela esquerda e pela direita. Isso exige multiplicidade ímpar do fator , por exemplo . - Portanto uma escolha natural para o denominador é
- Observação didática: perto de
, é sempre positivo e pequeno, então o sinal de perto de é dado por — em temos , logo é aproximadamente negativo (mas com módulo muito pequeno). Já em o fator muda de sinal ao atravessar , por isso o comportamento lateral muda de sinal.
Passo 4
Escolhendo o numerador e a forma final
e explicando por que usar numerador constante.
- Para garantir
e manter a função simples, escolhemos , uma constante. - Assim consideramos a família
- Vamos analisar sinais locais em função de
para satisfazer (b)–(e): - Em
: e (negativo). Então é negativo e pequeno. Para que é preciso que (negativo dividido por negativo pequeno dá ). Portanto deve ser negativo. - Em
: é negativo pequeno, positivo, logo negativo; com temos positivo grande — corresponde ao item (d). - Em
: é positivo pequeno, então positivo; com temos negativo grande em módulo — corresponde ao item (e).
- Em
- Conclusão: escolher
dá os sinais certos nas assíntotas em e .
Passo 5
Impor a condição
para determinar
(contas passo a passo).
- Substituir
em : - Queremos
. Então - Resolver para
: - Observação:
é negativo, como exigido no passo anterior, então os sinais nas assíntotas ficam corretos.
Passo 6
Escrever a função final e verificar todas as condições explicitamente (cálculos e interpretação).
- A função escolhida é
- Verificações:
- Valor em
: Portanto (a) está satisfeita. - Limites em
: - Para
, e (negativo), então o denominador tende a com sinal negativo; como o numerador externo é (negativo), dividido por número negativo pequeno é . Então a fração , e portanto que são (b) e (c).
- Para
- Limites em
: - Para
: , positivo, denominador negativo pequeno; numerador negativo; fração . Logo (d). - Para
: , denominador positivo pequeno; fração . Logo (e).
- Para
- Limite em infinito:
- O termo racional tem grau do denominador igual a
e numerador constante, então Assim , que é (f).
- O termo racional tem grau do denominador igual a
- Valor em
- Portanto todos os itens (a)–(f) estão satisfeitos pela função proposta.
Passo 7
Como esboçar o gráfico na prova (instruções práticas, passo a passo, e interpretação qualitativa).
- Traçar as assíntotas verticais
e com linhas tracejadas. - Traçar a assíntota horizontal
. - Pegar pontos notáveis:
-
(ponto acima da assíntota horizontal). - Não há cancelamentos de fatores, logo nas proximidades de
e o gráfico explode conforme verificado.
-
- Comportamento entre as assíntotas e fora delas (sinais e monotonia qualitativa):
- Para
: para a função aproxima-se de por cima (porque a fração é positiva e pequena quando é grande em módulo negativo), e ao se aproximar de ela sobe para . - No intervalo
: o gráfico vem de em , cruza (ou passa) por e cresce de novo até quando . - Para
: em a função vem de , depois tende para quando (aproximando-se por baixo).
- Para
- Essas informações permitem um esboço limpo: duas assíntotas verticais, assíntota horizontal em
, ramo à esquerda que vem de (por cima) subindo até em ; entre e o gráfico é positivo e tem um mínimo/variação que passa por ; à direita de o gráfico vem de e aproxima-se de por baixo.