Esboce o gráfico de uma função real que satisfaz as condições:
(a) f(0)=1
(b) \lim _{x \rightarrow -1^{-}} f(x)=+\infty
(c) \lim _{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=+\infty
(d) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=+\infty
(e) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=-\infty
(f) \lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=-1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações dadas (cada item foi retirado do enunciado).
  • O que pedir: esboçar o gráfico de uma função real f que satisfaça as condições a seguir.
  • Condições:
    (a) f(0)=1.
    (b) \lim_{x\to -1^-} f(x)=+\infty.
    (c) \lim_{x\to -1^+} f(x)=+\infty.
    (d) \lim_{x\to 1^-} f(x)=+\infty.
    (e) \lim_{x\to 1^+} f(x)=-\infty.
    (f) \lim_{x\to \pm\infty} f(x)=-1.
  • Objetivo prático: apresentar uma função explícita cujo gráfico tenha os comportamentos pedidos (vertical asymptotes em -1 e 1 com os sinais indicados, valor em 0 igual a 1, e assíntota horizontal y=-1 em infinito).

Passo 2

Ideia geral do tipo de função que vamos usar (explicação e motivação didática, sem pular etapas).
  • Funções racionais (razão de polinômios) são ótimas para criar assíntotas verticais: zeros do denominador (quando não cancelados) geram crescimento para \pm\infty.
  • A multiplicidade do fator no denominador controla o sinal das infinitudes nas duas faces:
    • se um fator (x-a) aparece com multiplicidade ímpar (por exemplo primeira potência), então a fração muda de sinal ao atravessar x=a: limites laterais têm sinais opostos (um +\infty, o outro -\infty);
    • se a multiplicidade é par (por exemplo (x-a)^2), a fração tende ao mesmo sinal de \pm\infty em ambos os lados de x=a.
  • Para ter assíntota horizontal \,y=-1 quando x\to\pm\infty, uma estratégia simples é construir f(x) = -1 + \frac{N(x)}{D(x)},com \deg N<\deg D. Assim \dfrac{N(x)}{D(x)}\to 0 e f(x)\to -1.
  • Resumo do plano: escolher D(x) com fatores que provoquem assíntotas em -1 e 1 com as multiplicidades apropriadas; escolher N(x) (pode ser constante) de modo que f(0)=1; e garantir \deg N<\deg D.

Passo 3

Escolhendo os fatores do denominador para produzir os comportamentos em -1 e 1.
  • Queremos que em x=-1 os dois lados dêem +\infty. Isso exige multiplicidade par do fator (x+1) no denominador, por exemplo (x+1)^2.
  • Queremos que em x=1 os lados dêem +\infty pela esquerda e -\infty pela direita. Isso exige multiplicidade ímpar do fator (x-1), por exemplo (x-1)^1.
  • Portanto uma escolha natural para o denominador é D(x)=(x+1)^2(x-1).
  • Observação didática: perto de x=-1, (x+1)^2 é sempre positivo e pequeno, então o sinal de D(x) perto de -1 é dado por \operatorname{sgn}(x-1) — em x\approx-1 temos x-1\approx-2, logo D(x) é aproximadamente negativo (mas com módulo muito pequeno). Já em x\to1 o fator (x-1) muda de sinal ao atravessar 1, por isso o comportamento lateral muda de sinal.

Passo 4

Escolhendo o numerador e a forma final f(x)=-1+\dfrac{N}{D} e explicando por que usar numerador constante.
  • Para garantir \deg N<\deg D e manter a função simples, escolhemos N(x)=A, uma constante.
  • Assim consideramos a família f(x) = -1 + \frac{A}{(x+1)^2(x-1)}.
  • Vamos analisar sinais locais em função de A para satisfazer (b)–(e):
    • Em x\to -1^\pm: (x+1)^2>0 e (x-1)\approx -2 (negativo). Então D(x) é negativo e pequeno. Para que \dfrac{A}{D(x)}\to +\infty é preciso que A<0 (negativo dividido por negativo pequeno dá +\infty). Portanto A deve ser negativo.
    • Em x\to 1^-: (x-1) é negativo pequeno, (x+1)^2 positivo, logo D negativo; com A<0 temos \dfrac{A}{D} positivo grande \Rightarrow f\to +\infty — corresponde ao item (d).
    • Em x\to 1^+: (x-1) é positivo pequeno, então D positivo; com A<0 temos \dfrac{A}{D} negativo grande em módulo \Rightarrow f\to -\infty — corresponde ao item (e).
  • Conclusão: escolher A<0 dá os sinais certos nas assíntotas em -1 e 1.

Passo 5

Impor a condição f(0)=1 para determinar A (contas passo a passo).
  • Substituir x=0 em f(x): f(0) = -1 + \frac{A}{(0+1)^2(0-1)} = -1 + \frac{A}{1\cdot(-1)} = -1 - A.
  • Queremos f(0)=1. Então -1 - A = 1.
  • Resolver para A: -A = 2 \quad\Rightarrow\quad A=-2.
  • Observação: A=-2 é negativo, como exigido no passo anterior, então os sinais nas assíntotas ficam corretos.

Passo 6

Escrever a função final e verificar todas as condições explicitamente (cálculos e interpretação).
  • A função escolhida é f(x) = -1 - \frac{2}{(x+1)^2(x-1)}.
  • Verificações:
    1. Valor em 0: f(0) = -1 - \frac{2}{(1)^2(-1)} = -1 + 2 = 1.Portanto (a) está satisfeita.
    2. Limites em x=-1:
      • Para x\to -1^\pm, (x+1)^2\to 0^+ e (x-1)\approx -2 (negativo), então o denominador tende a 0 com sinal negativo; como o numerador externo é -2 (negativo), -2 dividido por número negativo pequeno é +\infty. Então a fração -\dfrac{2}{(x+1)^2(x-1)}\to +\infty, e portanto \lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^+} f(x)=+\infty,que são (b) e (c).
    3. Limites em x=1:
      • Para x\to 1^-: (x-1)\to 0^-, (x+1)^2 positivo, denominador negativo pequeno; numerador -2 negativo; fração -2/\text{(negativo pequeno)}\to +\infty. Logo \lim_{x\to 1^-} f(x)=+\infty (d).
      • Para x\to 1^+: (x-1)\to 0^+, denominador positivo pequeno; fração -2/\text{(positivo pequeno)}\to -\infty. Logo \lim_{x\to 1^+} f(x)=-\infty (e).
    4. Limite em infinito:
      • O termo racional tem grau do denominador igual a 3 e numerador constante, então \lim_{x\to\pm\infty} \frac{-2}{(x+1)^2(x-1)} = 0.Assim \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = -1 + 0 = -1, que é (f).
  • Portanto todos os itens (a)–(f) estão satisfeitos pela função proposta.

Passo 7

Como esboçar o gráfico na prova (instruções práticas, passo a passo, e interpretação qualitativa).
  • Traçar as assíntotas verticais x=-1 e x=1 com linhas tracejadas.
  • Traçar a assíntota horizontal y=-1.
  • Pegar pontos notáveis:
    • f(0)=1 (ponto acima da assíntota horizontal).
    • Não há cancelamentos de fatores, logo nas proximidades de x=-1 e x=1 o gráfico explode conforme verificado.
  • Comportamento entre as assíntotas e fora delas (sinais e monotonia qualitativa):
    • Para x<-1: para x\to -\infty a função aproxima-se de -1 por cima (porque a fração é positiva e pequena quando x é grande em módulo negativo), e ao se aproximar de -1 ela sobe para +\infty.
    • No intervalo (-1,1): o gráfico vem de +\infty em x=-1^+, cruza (ou passa) por (0,1) e cresce de novo até +\infty quando x\to 1^-.
    • Para x>1: em x=1^+ a função vem de -\infty, depois tende para -1 quando x\to +\infty (aproximando-se por baixo).
  • Essas informações permitem um esboço limpo: duas assíntotas verticais, assíntota horizontal em y=-1, ramo à esquerda que vem de y=-1 (por cima) subindo até +\infty em -1; entre -1 e 1 o gráfico é positivo e tem um mínimo/variação que passa por (0,1); à direita de 1 o gráfico vem de -\infty e aproxima-se de -1 por baixo.

Resposta

f(x)=-1-\dfrac{2}{(x+1)^2(x-1)}

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