Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações relevantes dadas:
- Numerador é o polinômio
. - Denominador é o polinômio
. - O limite é pedido na direção
(crescimento ilimitado de ).
Passo 2
Escolha do método (e por que): para quocientes de polinômios, o comportamento quando
é dominado pelos termos de maior grau (os que têm maior potência de
). Uma maneira sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência presente, aqui
. Isso simplifica a expressão e mostra claramente o que sobra quando
fica muito grande. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Dividir numerador e denominador por
. Escrever cada polinômio fatorando
:
Portanto a fração original é
Passo 4
Cancelar o
comum (válido para
, e a remoção é legítima para o limite em
):
Passo 5
Analisar o comportamento dos termos com potências negativas quando
. Para qualquer
vale que
quando
, porque o denominador cresce sem limite e o quociente tende a zero. Em particular
Passo 6
Aplicando isso ao numerador e denominador simplificados, obtemos que as parcelas com
e
desaparecem no limite. Logo
Passo 7
Simplificar a fração final: