Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{3}-x+1}{6 x^{3}+2 x-7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3x^{3}-x+1}{6x^{3}+2x-7}.
Informações relevantes dadas:
  • Numerador é o polinômio 3x^{3}-x+1.
  • Denominador é o polinômio 6x^{3}+2x-7.
  • O limite é pedido na direção x\to+\infty (crescimento ilimitado de x).

Passo 2

Escolha do método (e por que): para quocientes de polinômios, o comportamento quando x\to\pm\infty é dominado pelos termos de maior grau (os que têm maior potência de x). Uma maneira sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência presente, aqui x^{3}. Isso simplifica a expressão e mostra claramente o que sobra quando x fica muito grande. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Dividir numerador e denominador por x^{3}. Escrever cada polinômio fatorando x^{3}:
3x^{3}-x+1 = x^{3}\!\left(3 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right)
6x^{3}+2x-7 = x^{3}\!\left(6 + \frac{2}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}\right)
Portanto a fração original é
\frac{3x^{3}-x+1}{6x^{3}+2x-7} = \frac{x^{3}\!\left(3 - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}\right)}{x^{3}\!\left(6 + \dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{7}{x^{3}}\right)} .

Passo 4

Cancelar o x^{3} comum (válido para x\neq0, e a remoção é legítima para o limite em +\infty):
\frac{3x^{3}-x+1}{6x^{3}+2x-7} = \frac{3 - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}}{6 + \dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{7}{x^{3}}}.

Passo 5

Analisar o comportamento dos termos com potências negativas quando x\to+\infty. Para qualquer k>0 vale que \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to+\infty, porque o denominador cresce sem limite e o quociente tende a zero. Em particular
\frac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{3}}\to 0 \quad\text{quando }x\to+\infty.

Passo 6

Aplicando isso ao numerador e denominador simplificados, obtemos que as parcelas com 1/x^{2} e 1/x^{3} desaparecem no limite. Logo
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3 - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}}{6 + \dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{7}{x^{3}}} = \frac{3 - 0 + 0}{6 + 0 - 0} = \frac{3}{6}.

Passo 7

Simplificar a fração final:
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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