Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão cuja limite devemos avaliar é
. - A variável
tende a . - Não há outras condições ou parâmetros adicionais.
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade algébrica útil: a expansão do cubo de uma soma (Teorema do Binômio para potência 3). Para quaisquer números
e
vale
Aqui usaremos essa fórmula com
e
(ou vice-versa), para desenvolver
em termos de potências de
. Isso é só para transformar o numerador numa soma de termos que fica fácil de simplificar.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
obtemos
Subtraindo
(como aparece no numerador) resulta
Expliquei cada termo:
vem de
,
de
,
de
e o
de
, que foi eliminado ao subtrair 1.
Passo 4
Agora colocamos isso sobre
:
Fatoramos
no numerador (isso é legítimo porque para o limite estamos interessados em
próximos de
, e para
podemos dividir):
Portanto, para
a expressão simplifica exatamente para
.
Passo 5
Usamos agora propriedades de limites: polinômios são funções contínuas, então o limite quando
de um polinômio é o polinômio avaliado em
. Assim
Logo o limite pedido é
.
Passo 6
(Fica como observação didática e útil para prova) Note que a expressão original tem a forma de um quociente diferença:
com
. Esse é exatamente o quociente que define a derivada
. Calculando a derivada
e avaliando em
dá
, concordando com o resultado obtido pela álgebra. Essa interpretação como derivada é uma maneira rápida de resolver limites do tipo
.