Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{3}-1}{x},

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^{3}-1}{x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão cuja limite devemos avaliar é \dfrac{(x+1)^3-1}{x}.
  • A variável x tende a 0.
  • Não há outras condições ou parâmetros adicionais.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade algébrica útil: a expansão do cubo de uma soma (Teorema do Binômio para potência 3). Para quaisquer números a e b vale
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Aqui usaremos essa fórmula com a=x e b=1 (ou vice-versa), para desenvolver (x+1)^3 em termos de potências de x. Isso é só para transformar o numerador numa soma de termos que fica fácil de simplificar.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=x e b=1 obtemos
(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1.
Subtraindo 1 (como aparece no numerador) resulta
(x+1)^3 - 1 = x^3 + 3x^2 + 3x.
Expliquei cada termo: x^3 vem de a^3, 3x^2 de 3a^2b, 3x de 3ab^2 e o 1 de b^3, que foi eliminado ao subtrair 1.

Passo 4

Agora colocamos isso sobre x:
\frac{(x+1)^3-1}{x} = \frac{x^3 + 3x^2 + 3x}{x}.
Fatoramos x no numerador (isso é legítimo porque para o limite estamos interessados em x próximos de 0, e para x\neq 0 podemos dividir):
\frac{x^3 + 3x^2 + 3x}{x} = \frac{x\,(x^2 + 3x + 3)}{x} = x^2 + 3x + 3.
Portanto, para x\neq 0 a expressão simplifica exatamente para x^2 + 3x + 3.

Passo 5

Usamos agora propriedades de limites: polinômios são funções contínuas, então o limite quando x\to 0 de um polinômio é o polinômio avaliado em 0. Assim
\lim_{x\to 0}\bigl(x^2 + 3x + 3\bigr) = 0^2 + 3\cdot 0 + 3 = 3.
Logo o limite pedido é 3.

Passo 6

(Fica como observação didática e útil para prova) Note que a expressão original tem a forma de um quociente diferença:
\frac{(x+1)^3-1}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0},
com f(t)=(t+1)^3. Esse é exatamente o quociente que define a derivada f'(0). Calculando a derivada f'(t)=3(t+1)^2 e avaliando em t=0 f'(0)=3, concordando com o resultado obtido pela álgebra. Essa interpretação como derivada é uma maneira rápida de resolver limites do tipo \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Resposta

3

Exercícios relacionados