O diferencial representa uma reta tangente em duas variáveis?
Passo 1
Você perguntou se “o diferencial representa uma reta tangente em duas variáveis”. Primeiro vamos deixar claro o que a pergunta envolve e o que provavelmente se quer saber:
- Queremos entender o significado do “diferencial” para funções de duas variáveis, por exemplo
. - A dúvida é se esse diferencial corresponde a uma reta tangente (como ocorre em funções de uma variável) ou a outra coisa.
Não vamos ainda resolver nada, apenas organizamos a pergunta para responder com calma.
Passo 2
Definição intuitiva e formal do diferencial. Vou começar com a ideia: o diferencial é a melhor aproximação linear da função perto de um ponto. Formalmente, para uma função
e um ponto
, dizemos que
é diferenciável em
se existe uma aplicação linear
tal que, para todo vetor pequeno
,
onde
é a norma euclidiana de
e
significa um erro que é muito menor que
quando
. Esse
é o diferencial de
em
e costuma ser denotado por
.
Passo 3
Fórmula prática do diferencial em duas variáveis e o que cada termo significa. Se
é diferenciável em
e tem derivadas parciais
e
, então o diferencial
atua sobre um incremento
por
Explicando cada símbolo:
-
e são as derivadas parciais de em em relação a e . -
e são os pequenos incrementos em e . -
é o valor aproximado do incremento de quando se faz o deslocamento .
Passo 4
Interpretação geométrica: plano tangente (não reta). Considere o gráfico de
no espaço
, com
. A aproximação linear anterior dá a equação do plano tangente no ponto
. Para derivá-la:
a) O incremento aproximado em é
.
b) Substituindo e
obtemos a equação do plano tangente
a) O incremento aproximado em
b) Substituindo
Isso mostra que, para funções escalares de duas variáveis, o diferencial determina um plano (o plano tangente), não uma reta.
Passo 5
Exemplo numérico passo a passo para fixar a ideia. Seja
e o ponto
.
a) Calcular derivadas parciais:
a) Calcular derivadas parciais:
logo em
temos
e
.
b) O diferencial em aplicado a
é
b) O diferencial em
c) A equação do plano tangente é
Como
, o plano é
d) Interpretação: perto de
a superfície
é bem aproximada por esse plano; não se obtém uma reta única, mas sim um plano que toca a superfície naquele ponto.
Passo 6
Quando aparece uma reta tangente então? Contrastando casos:
- Função de uma variável
: o diferencial dá a inclinação e a equação da reta tangente
Ou seja, para uma variável independente a melhor aproximação linear é uma reta.
- Curva paramétrica
: a derivada é um vetor tangente; a reta tangente à curva em é a combinação afim de . Assim, em situações de curvas (mapa de em ou ) o diferencial/derivada produz uma reta tangente. - Para
(superfície no espaço), o diferencial produz um plano tangente, não uma reta.
Passo 7
Linguagem mais geral: diferencial como mapa linear e relação com Jacobiana e gradiente.
- Para
temos
onde
é o gradiente e
é o produto escalar.
- Para
(função vetorial) o diferencial é representado pela matriz Jacobiana , que é uma matriz . O diferencial é a melhor aproximação linear . Geometricamente isso descreve o espaço tangente (linha, plano ou subespaço) dependendo das dimensões.
Passo 8
Condições de existência e dicas práticas para prova:
- Ter derivadas parciais em
não garante diferenciabilidade. Uma condição suficiente (e prática) é que e existam num entorno de e sejam contínas em — aí é diferenciável em . - Receita rápida para calcular o plano tangente na prova:
- Calcule
e . - Escreva o plano:
- Calcule
- Se estiver lidando com curvas (dependência apenas de um parâmetro) então espere uma reta tangente; para superfícies (duas variáveis independentes) espere um plano tangente.
Resposta
Não — para uma função escalar de duas variáveis
o diferencial em um ponto fornece a melhor aproximação linear que corresponde à equação do plano tangente
enquanto que uma reta tangente aparece no caso de funções de uma variável ou em curvas paramétricas; mais geralmente o diferencial é um mapa linear (gradiente ou Jacobiana) que descreve a aproximação linear no ponto.