O diferencial representa uma reta tangente em duas variáveis?

Passo 1

Você perguntou se “o diferencial representa uma reta tangente em duas variáveis”. Primeiro vamos deixar claro o que a pergunta envolve e o que provavelmente se quer saber:
  • Queremos entender o significado do “diferencial” para funções de duas variáveis, por exemplo f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}.
  • A dúvida é se esse diferencial corresponde a uma reta tangente (como ocorre em funções de uma variável) ou a outra coisa.
    Não vamos ainda resolver nada, apenas organizamos a pergunta para responder com calma.

Passo 2

Definição intuitiva e formal do diferencial. Vou começar com a ideia: o diferencial é a melhor aproximação linear da função perto de um ponto. Formalmente, para uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e um ponto p=(x_0,y_0), dizemos que f é diferenciável em p se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, para todo vetor pequeno h=(h_1,h_2),
f(p+h)=f(p)+L(h)+o(\|h\|),
onde \|h\| é a norma euclidiana de h e o(\|h\|) significa um erro que é muito menor que \|h\| quando \|h\|\to0. Esse L é o diferencial de f em p e costuma ser denotado por df_p.

Passo 3

Fórmula prática do diferencial em duas variáveis e o que cada termo significa. Se f é diferenciável em p e tem derivadas parciais f_x(p) e f_y(p), então o diferencial df_p atua sobre um incremento h=(h_1,h_2) por
df_p(h)=f_x(p)\,h_1+f_y(p)\,h_2.
Explicando cada símbolo:
  • f_x(p) e f_y(p) são as derivadas parciais de f em p em relação a x e y.
  • h_1 e h_2 são os pequenos incrementos em x e y.
  • df_p(h) é o valor aproximado do incremento de f quando se faz o deslocamento h.

Passo 4

Interpretação geométrica: plano tangente (não reta). Considere o gráfico de f no espaço (x,y,z), com z=f(x,y). A aproximação linear anterior dá a equação do plano tangente no ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)). Para derivá-la:
a) O incremento aproximado em z é dz\approx df_p(h).
b) Substituindo h_1=x-x_0 e h_2=y-y_0 obtemos a equação do plano tangente
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Isso mostra que, para funções escalares de duas variáveis, o diferencial determina um plano (o plano tangente), não uma reta.

Passo 5

Exemplo numérico passo a passo para fixar a ideia. Seja f(x,y)=x^2+y^2 e o ponto p=(1,1).
a) Calcular derivadas parciais:
f_x(x,y)=2x,\qquad f_y(x,y)=2y,
logo em p temos f_x(1,1)=2 e f_y(1,1)=2.
b) O diferencial em p aplicado a h=(h_1,h_2) é
df_p(h)=2h_1+2h_2.
c) A equação do plano tangente é
z = f(1,1)+2(x-1)+2(y-1).
Como f(1,1)=1^2+1^2=2, o plano é
z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1) = 2x+2y-2.
d) Interpretação: perto de (1,1) a superfície z=x^2+y^2 é bem aproximada por esse plano; não se obtém uma reta única, mas sim um plano que toca a superfície naquele ponto.

Passo 6

Quando aparece uma reta tangente então? Contrastando casos:
  • Função de uma variável g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}: o diferencial dg_{x_0} dá a inclinação g'(x_0) e a equação da reta tangente
y = g(x_0) + g'(x_0)(x-x_0).
Ou seja, para uma variável independente a melhor aproximação linear é uma reta.
  • Curva paramétrica r(t)\in\mathbb{R}^2: a derivada r'(t_0) é um vetor tangente; a reta tangente à curva em r(t_0) é a combinação afim de r'(t_0). Assim, em situações de curvas (mapa de \mathbb{R} em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3) o diferencial/derivada produz uma reta tangente.
  • Para f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} (superfície no espaço), o diferencial produz um plano tangente, não uma reta.

Passo 7

Linguagem mais geral: diferencial como mapa linear e relação com Jacobiana e gradiente.
  • Para f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} temos
df_p(h)=\nabla f(p)\cdot h,
onde \nabla f(p)=(f_x(p),f_y(p)) é o gradiente e \cdot é o produto escalar.
  • Para F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^m (função vetorial) o diferencial dF_p é representado pela matriz Jacobiana J_F(p), que é uma matriz m\times2. O diferencial é a melhor aproximação linear dF_p(h)=J_F(p)\,h. Geometricamente isso descreve o espaço tangente (linha, plano ou subespaço) dependendo das dimensões.

Passo 8

Condições de existência e dicas práticas para prova:
  • Ter derivadas parciais em p não garante diferenciabilidade. Uma condição suficiente (e prática) é que f_x e f_y existam num entorno de p e sejam contínas em p — aí f é diferenciável em p.
  • Receita rápida para calcular o plano tangente na prova:
    1. Calcule f_x(x_0,y_0) e f_y(x_0,y_0).
    2. Escreva o plano: \;z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).
  • Se estiver lidando com curvas (dependência apenas de um parâmetro) então espere uma reta tangente; para superfícies (duas variáveis independentes) espere um plano tangente.

Resposta

Não — para uma função escalar de duas variáveis f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} o diferencial em um ponto fornece a melhor aproximação linear que corresponde à equação do plano tangente
z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),
enquanto que uma reta tangente aparece no caso de funções de uma variável ou em curvas paramétricas; mais geralmente o diferencial é um mapa linear (gradiente ou Jacobiana) que descreve a aproximação linear no ponto.

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