Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-6 x+8}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-6x+8}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio x^{2}-3x+2.
  • O denominador é o polinômio x^{2}-6x+8.
  • O ponto de interesse é x\rightarrow 2.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituição direta. Calculo o numerador e o denominador em x=2:
\text{numerador}(2)=2^{2}-3\cdot2+2=4-6+2=0,
\text{denominador}(2)=2^{2}-6\cdot2+8=4-12+8=0.
Como obtemos a forma 0/0, esse é um caso de indeterminação. Significa que não dá para concluir o limite só com a substituição direta — é preciso simplificar a expressão ou usar outro método. Dois métodos comuns aqui são fatorar os polinômios ou aplicar a regra de L’Hôpital. Vou usar fatoração porque os polinômios são quadráticos simples e se fatoram perfeitamente — é o método mais direto em prova sem cálculo de derivadas.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador. Procuro dois números cujo produto seja 2 (termo constante) e cuja soma seja -3 (coeficiente de x). Esses números são -1 e -2. Portanto:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Explicando rapidamente: fatorar um quadrático x^{2}+bx+c consiste em encontrar r,s tais que r+s=b e rs=c; então x^{2}+bx+c=(x-r)(x-s).

Passo 4

Agora fatoro o denominador. Procuro dois números com produto 8 e soma -6. Esses números são -2 e -4. Assim:
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4).

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original:
\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-6x+8}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-4)}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2), ficando a função equivalente
\frac{x-1}{x-4}\quad(\text{para }x\neq 2).
Justificativa do cancelamento para o limite: o limite quando x\rightarrow 2 depende do comportamento da função em valores próximos de 2, não do valor no próprio 2. Como as duas funções (a original e a simplificada) coincidem em todo ponto próximo a 2 exceto em x=2 exatamente, elas têm o mesmo limite em 2. Esse tipo de situação chama-se remoção de uma descontinuidade (ou “buraco”) em x=2.

Passo 6

Agora calculo o limite da forma simplificada por substituição direta (já não dá indeterminação):
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-1}{x-4}=\frac{2-1}{2-4}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.

Passo 7

Checagem alternativa (opcional): se tivesse usado L’Hôpital, como havia a forma 0/0, derivando numerador e denominador obtém-se
\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+2)=2x-3,\qquad \frac{d}{dx}(x^{2}-6x+8)=2x-6,
e avaliando em x=2
\frac{2\cdot2-3}{2\cdot2-6}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2},
mesmo resultado (bom sinal — métodos concordam). Parabéns: foi uma indeterminação removível que a fatoração resolveu de forma rápida.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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