Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituição direta. Calculo o numerador e o denominador em
:
Como obtemos a forma
, esse é um caso de indeterminação. Significa que não dá para concluir o limite só com a substituição direta — é preciso simplificar a expressão ou usar outro método. Dois métodos comuns aqui são fatorar os polinômios ou aplicar a regra de L’Hôpital. Vou usar fatoração porque os polinômios são quadráticos simples e se fatoram perfeitamente — é o método mais direto em prova sem cálculo de derivadas.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador. Procuro dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Portanto:
Explicando rapidamente: fatorar um quadrático
consiste em encontrar
tais que
e
; então
.
Passo 4
Agora fatoro o denominador. Procuro dois números com produto
e soma
. Esses números são
e
. Assim:
Passo 5
Substituindo as fatorações na expressão original:
Para
podemos cancelar o fator comum
, ficando a função equivalente
Justificativa do cancelamento para o limite: o limite quando
depende do comportamento da função em valores próximos de
, não do valor no próprio
. Como as duas funções (a original e a simplificada) coincidem em todo ponto próximo a
exceto em
exatamente, elas têm o mesmo limite em
. Esse tipo de situação chama-se remoção de uma descontinuidade (ou “buraco”) em
.
Passo 6
Agora calculo o limite da forma simplificada por substituição direta (já não dá indeterminação):
Passo 7
Checagem alternativa (opcional): se tivesse usado L’Hôpital, como havia a forma
, derivando numerador e denominador obtém-se
e avaliando em
dá
mesmo resultado (bom sinal — métodos concordam). Parabéns: foi uma indeterminação removível que a fatoração resolveu de forma rápida.