Calcule os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é uma potência cujo expoente tende a infinito e cuja base tende a
quando
. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: separar a potência em duas partes para facilitar a análise:
Isto é exato: somar expoentes transforma-se em produto de potências. Agora podemos estudar separadamente o comportamento de cada fator quando
.
Passo 3
Analisar o segundo fator
.
- Quando
temos , logo . - Como a função
é contínua, o limite do fator é o cubo do limite da base:
Portanto esse fator não altera o limite principal além de multiplicar por
.
Passo 4
Analisar o primeiro fator
. Para isso fazemos uma substituição que transforma a expressão numa forma conhecida. Defina
Quando
também
. Reescrevendo:
Agora usamos um limite padrão e fundacional: por definição (ou propriedade clássica),
onde
é a constante de Euler (aproximadamente
). Portanto, aplicando esse limite,
Passo 5
Combinar os limites dos dois fatores, usando que o limite do produto é o produto dos limites quando estes existem e são finitos:
Passo 6
(Bônus: método alternativo por logaritmo, útil na prova)
Defina e suponha
. Tome logaritmo natural:
Defina
Como
quando
, temos
. Então
Logo
e
. Isso confirma o resultado anterior.