Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{x+3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{x+3}.
Informações dadas: a expressão é uma potência cujo expoente tende a infinito e cuja base tende a 1 quando x\to\infty. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: separar a potência em duas partes para facilitar a análise:
\left(1+\frac{5}{x}\right)^{x+3} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{x}\cdot \left(1+\frac{5}{x}\right)^{3}.
Isto é exato: somar expoentes transforma-se em produto de potências. Agora podemos estudar separadamente o comportamento de cada fator quando x\to\infty.

Passo 3

Analisar o segundo fator \left(1+\dfrac{5}{x}\right)^{3}.
  • Quando x\to\infty temos \dfrac{5}{x}\to0, logo 1+\dfrac{5}{x}\to1.
  • Como a função t\mapsto t^{3} é contínua, o limite do fator é o cubo do limite da base:
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{3}=1^{3}=1.
Portanto esse fator não altera o limite principal além de multiplicar por 1.

Passo 4

Analisar o primeiro fator \left(1+\dfrac{5}{x}\right)^{x}. Para isso fazemos uma substituição que transforma a expressão numa forma conhecida. Defina
y=\frac{x}{5}.
Quando x\to\infty também y\to\infty. Reescrevendo:
\left(1+\frac{5}{x}\right)^{x} = \left(1+\frac{1}{y}\right)^{5y} = \left[\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right]^{5}.
Agora usamos um limite padrão e fundacional: por definição (ou propriedade clássica),
\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}=e,
onde e é a constante de Euler (aproximadamente 2,71828\ldots). Portanto, aplicando esse limite,
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{x} = \lim_{y\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right]^{5} = e^{5}.

Passo 5

Combinar os limites dos dois fatores, usando que o limite do produto é o produto dos limites quando estes existem e são finitos:
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{x+3} = \left(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{3}\right) = e^{5}\cdot 1=e^{5}.

Passo 6

(Bônus: método alternativo por logaritmo, útil na prova)
Defina L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{5}{x}\right)^{x+3} e suponha L>0. Tome logaritmo natural:
\ln L=\lim_{x\to\infty}(x+3)\ln\!\left(1+\frac{5}{x}\right).
Como \ln(1+u)\sim u quando u\to0, temos \ln\!\left(1+\dfrac{5}{x}\right)\sim\dfrac{5}{x}. Então
(x+3)\ln\!\left(1+\frac{5}{x}\right)\sim (x+3)\frac{5}{x}\to 5.
Logo \ln L=5 e L=e^{5}. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

e^{5}

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